Корреляционный анализ. Определение коэффициента корреляции

Корреляционный анализ – метод позволяющий обнаружить, зависимость между несколькими случайными величинами.

Предположим осуществление независимых измерений различных параметров у 1—го типа объектов. Из этих данных можно получить качественно новую информацию о взаимосвязи этих параметров (о корреляции). Предположим, проводятся измерения роста и веса человека, при этом каждое измерение представлено точкой в двумерном пространстве. Несмотря на то, что величины носят случайный характер. В общем случае наблюдается некоторая зависимость - величины коливируют. Возможны несколько случаев корреляции:

В случае если увеличение 1-го параметра приводит к увеличению 2-го – положительная корреляция (а), а если наоборот – 2-й параметр уменьшается (б), отсутствие корреляции (в); величины являются независимыми.

Для того, чтобы выразить важнейшие свойства случайного процесса при многократных измерениях 1-й ф.в., при исследовании нескольких рядов случайных величин, а также при косвенном измерении искомой величины, которая определяется как сумма или разность ф.в. получается в результатах измерений, используется автокорреляционная функция и взаимная корреляционная функция:

где – функции случайного процесса, а – спектральные плотности по множеству наблюдений.

Если, например, исследуются 2 ряда случайных величин, то используются 3 спектральные плотности. По множеству наблюдаются: (например, мы исследуем количество пищевой добавки в граммах, и конечный выход продуктов в %).

Для численной взаимосвязи параметров случайных процессов вводятся коэффициенты корреляции.

Так как коэффициент корреляции на основании случайных величин, он также является случайной величиной.

Задача: результат исследования о количестве добавки и соответственном выходе продукта приведенного в таблице.

1) Необходимо найти коэффициент корреляции.

2) Найти СКО количество добавки.

3) СКО выхода продукта.

№ партии	Кол-во добавок, гр	Выход продукта, %	,
1.	8,9	90,8	0,3	8,9	90,8	0,2	0,04	1,5	2,25
2.	8,9	88,6	-0,14	8,9	88,6	0,2	0,04	-0,7	0,49
3.	9,3	92,8	2,1	9,3	92,8	0,6	0,36	3,5	12,25
4.	8,7	87,2		8,7	87,2			-2,1	4,41
5.	9,1	92,5	1,28	9,1	98,5	0,4	0,16	3,2	10,24
6.	8,7	91,2		8,7	99,2			1,9	3,61
7.	8,7	88,2	0,54	8,7	88,2			1,1	1,21
8.	8,9	90,4	0,22	8,9	90,4	-0,2	0,04	1,1	1,21
9.	8,5	86,6	0,54	8,5	86,6	-0,2	0,04	-2,7	7,29
10.	8,3	89,6	-0,12	8,3	89,4	-0,4	0,16	0,3	0,09
11.	8,6	88,2	0,04	8,6	88,9	-0,1	0,01	-0,4	0,16
12.	8,9	88,4	-0,18	8,9	88,4	0,2	0,04	-0,9	0,81
13.	8,8	87,4	-0,19	8,8	87,4	0,1	0,01	-1,9	3,61
14.	8,4	87,4	0,57	8,4	87,4	-0,3	0,09	-1,9	3,61
15.	8,8	89,1	-0,02	8,8	89,1	0,1	0,01	-0,2	0,04
				8,7	89,3

Решение

1) Количество добавки обозначается .

2) Соответствующий выход продукта .

3) Найдем среднее арифметическое и .

4) Находим разность между случайным и средним арифметическим значением количество добавки.

5) Для определения спектральной плотности (количество добавки находим возводим в 2 все числовые значения столбца 3).

6) Находим спектральную плотность как сумму численных значений столбца,

7) Находим разность – между случайными значениями выхода продукта и средним арифметическим значением.

8) Для определения спектральной плотности выхода продукта находим разность квадратов .

9) Находим спектральную плотность по множеству наблюдений

10) Для определения спектральной плотности находим .

11) Находим спектральную плотность , как сумму численных значений 7 столбца

12) Определим коэффициент корреляции

13) Определить СКО количество добавки

14) Определить СКО выхода продукта

Задача:

Поскольку все коэффициенты влияния также =1, запишем ответ для относительной систематической погрешности косвенного измерения (относительная систематическая погрешность косвенного измерения степенной функции равна сумме относительных погрешностей прямых измерений аргументов, так как коэффициент влияния =1).