Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства

Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

V; x, y, z, … V

Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.

Элементы линейного пространства называются векторами, обозначаются , , . Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов – линейно-зависима.

Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.

Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.

Такое представление называется разложение по базису, а числа называют координатами вектора.

Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.