Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку

Означення. Функцію називають неперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Означення. Функція називається неперервною на сегменті , якщо вона неперервна на інтервалі і неперервна справа в точці і зліва в точці .

Означення. Якщо функція визначена на множині і існує таке значення , що для усіх виконується умова , то число називається найбільшим , (найменьшим ) значенням функції на множині .

Теорема 4. Якщо функція неперервна на сегменті , , то вона на цьому сегменті досягає свого найбільшого та найменшого значень. Тобто для будь-яких виконується умова(рис.8.5)

Рис. 8.5.

Якщо функцію задано на інтервалі або , то вона такими властивостями може і не задовольняти. Наприклад, , ні найменшого а ні найбільшого значення функція не має. Функція на сегменті має найменьше значення ; найбільше , тобто на кінцях сегменту.

Функція на сегменті не має найбільшого значення, тому що в точці вона не визначена. Функція на сегменті досягає найменшого значення в точці , і найбільшого значення в точці .

Теорема 5. Якщо функція визначена та неперервна на сегменті і на його кінцях приймає значення різних знаків, то між і існує хоча б одна точка , в якій функція дорівнює нулю.

Теорема 6. Якщо функція неперервна на сегменті і її найменьше і найбільше значення відповідно і , а число , тоді на сегменті знайдеться хоча б одна точка така, що .

Геометричну інтерпретацію теорем 4 – 6 дивись на рис. 8.5

Запитання для самодіагностики

1. Яка функція називається неперервною в точці ?

2. Яка функція називається неперервною на відрізку?

3. Які точки називаються точками розриву?

4. Яка точка називається точкою розриву першого роду?

5. Яка точка називається точкою розриву другого роду?

6. Які властивості неперервної функції на замкнутому проміжку ви знаєте?