![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Означення. Нехай функція визначена на деякій множині
а в точці
її значення відповідно
. Функція
називається неперервною в точці
, якщо границя цієї функції при
дорівнює значенню функції в цій точці. Тобто
. Зауважімо, що при обчисленні границі в точці
, функція обов'язково повинна бути в цій точці визначена. Для неперервної функції в точці
необхідно, щоб функція в цій точці існувала. В означенні неперервності функції точка
належить області визначення функції і є внутрішньою точкою, тобто розгладяється двостороння границя функції. При дослідженні неперервності можуть бути випадки, коли функція неперервна у даній точці зліва або справа.
Означення. Якщо існує границя
або
,
то функцію називають неперервною в точці справа та зліва відповідно. Якщо ці умови не виконуються, то функція має розрив в точці
справа або зліва.
Отже, якщо функція неперервна в точці , то вона неперервна в цій точці справа та зліва, тобто
Приклад. Довести, що функція неперервна в точці
. Знайдемо значення функції в точці
,
.
Обчислимо
.
Таким чином, границя функції в точці , дорівнює значенню функції у цій точці, отже, функція неперервна в точці
.
Приклад. Довести, що функція
неперервна в точці .
За умовою функція ;
(добуток нескінченно малої на обмежену), отже,
і функція в точці
- неперервна.
Приклад. Довести, що функція
у точці – розривна.
Обчислимо односторонні границі:
,
тобто границя зліва не дорівнює границі справа і в даній точці границі не існує і функція в точці – розривна.
Розглянемо ще одне визначення неперервності функції в точці. Введемо такі поняття: приростом аргументу при переході від значення до
називають різницю
, а відповідну зміну значення функції
– приростом функції в точці
.
Нехай функція визначена в точці і неперервна в ній. Тоді
,
а
.
Звідси можемо надати таке означення неперервності в точці
Означення. Якщо функція неперервна в точці , то нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто при
,
.
Виконується і обернене стверждення, якщо , то функція неперервна. Дійсно
,
або
,
тобто функція – неперервна. Функція неперервна на множині , якщо вона неперервна у кожній точці цієї множини.
Приклад. Довести, що функція – неперервна на множині
.
Для будь-якої точки , знайдемо
Тоді:
,
тобто функція неперервна в довільній точці .
Приклад. Довести, що функція – неперервна для будь-якого
. Визначимо:
.
Тоді,
і неперервність доведено ( – нескінченно мала,
обмежений одиницею).
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 1109 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!