Неперервність функції в точці

Означення. Нехай функція визначена на деякій множині а в точці її значення відповідно . Функція називається неперервною в точці , якщо границя цієї функції при дорівнює значенню функції в цій точці. Тобто . Зауважімо, що при обчисленні границі в точці , функція обов'язково повинна бути в цій точці визначена. Для неперервної функції в точці необхідно, щоб функція в цій точці існувала. В означенні неперервності функції точка належить області визначення функції і є внутрішньою точкою, тобто розгладяється двостороння границя функції. При дослідженні неперервності можуть бути випадки, коли функція неперервна у даній точці зліва або справа.

Означення. Якщо існує границя

або

,

то функцію називають неперервною в точці справа та зліва відповідно. Якщо ці умови не виконуються, то функція має розрив в точці справа або зліва.

Отже, якщо функція неперервна в точці , то вона неперервна в цій точці справа та зліва, тобто

Приклад. Довести, що функція неперервна в точці . Знайдемо значення функції в точці , .

Обчислимо

.

Таким чином, границя функції в точці , дорівнює значенню функції у цій точці, отже, функція неперервна в точці .

Приклад. Довести, що функція

неперервна в точці .

За умовою функція ; (добуток нескінченно малої на обмежену), отже, і функція в точці - неперервна.

Приклад. Довести, що функція

у точці – розривна.

Обчислимо односторонні границі:

,

тобто границя зліва не дорівнює границі справа і в даній точці границі не існує і функція в точці – розривна.

Розглянемо ще одне визначення неперервності функції в точці. Введемо такі поняття: приростом аргументу при переході від значення до називають різницю , а відповідну зміну значення функції – приростом функції в точці .

Нехай функція визначена в точці і неперервна в ній. Тоді

,

а

.

Звідси можемо надати таке означення неперервності в точці

Означення. Якщо функція неперервна в точці , то нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто при , .

Виконується і обернене стверждення, якщо , то функція неперервна. Дійсно

,

або

,

тобто функція – неперервна. Функція неперервна на множині , якщо вона неперервна у кожній точці цієї множини.

Приклад. Довести, що функція – неперервна на множині .

Для будь-якої точки , знайдемо

Тоді:

,

тобто функція неперервна в довільній точці .

Приклад. Довести, що функція – неперервна для будь-якого . Визначимо:

.

Тоді,

і неперервність доведено ( – нескінченно мала, обмежений одиницею).