Класифікація розривів функції в точці. Дослідження на неперервність

Якщо для функції в точці не виконується хоча б одна з умов неперервності, тобто функція не є неперервною в цій точці, то кажуть, що точка – точка розриву функції, або має розрив в точці .

Точки розриву функції класифікуються залежно від того, як саме порушується критерій неперервності. Розрізняють такі випадки:

1. Існують односторонні границі (скінченні) і , але або не існує, тоді кажуть, що – точка усувного розриву функції.

2. Існують скінченні односторонні границі, але , тоді називають точкою розриву 1-го роду.

3. Не існує хоча б одна з односторонніх границь, або принаймні одна з них нескінченна, тоді точка є точка розриву 2-го роду.

Таким чином, щоб дослідити функцію на неперервність в данній точці , треба знайти односторонні границі функції при і обчислити значення функції в точці, тобто перевірити умову

Зробити висновки відповідно з різновидностями розриву функції.

Приклад. Дослідити не неперервність функцію

в точці

Відповідно до першої чудової границі: , тобто

; .

Але в точці – функція не існує (рис. 8.1). Маємо: , отже, – є точкою усувного розриву.

Рис. 8.1.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

.

Областю визначення функції є вся числова ось, крім , (знаменник дорівнює нулю). Отже, на неперервність функцію досліджуємо у точках:

1)

Знайдемо односторонні границі

Отже, точка – є точкою розриву 2-го роду.

2)

, ,

у точці – функція не існує, тобто

Таким чином точка – є точкою усувного розриву (рис. 8.2)

Рис.8.2.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію:

Маємо неелементарну функцію, функцію задано трьома формулами. На кожному із вказаних проміжків функція неперервна, як елементарна на області свого існування. Необхідно розглянути точки стиковки функцій різного виду. Отже, точки і .

1). При , односторонні границі

; ;

Таким чином, функція в точці – неперервна.

2) При ; ; . Тобто, і функція в цій точці має розрив першого роду (Рис.8.3).

Рис.8.3 Рис. 8.4

. Приклад. Дослідити на неперервність функцію

.

В точці односторонні границі:

; ,

Отже, точка є точки розриву другого роду(рис.8.4)