Базовые элементы формальных моделей и их описание

Учебные элементы параграфа:

1. Физическая величина.

2. Типы фазовых переменных.

3. Базовый элемент.

4. Компонентное уравнение базового элемента.

5. Топологические уравнения.

6. Эквивалентная схема макро модели.

7. Процедура получения макро модели.

Использование ММ объекта в форме дифференциальных уравнений в частных производных возможно только для очень простых технических систем. Поэтому при моделировании на макро уровне в технической системе выделяются достаточно крупные элементы, которые в дальнейшем рассматриваются как неделимое целое. Непрерывной независимой переменной остаётся (в сравнении с моделированием на микро уровне) только время. Математической моделью системы на макро уровне будет система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Поведение большинства технических подсистем можно охарактеризовать с помощью фазовых переменных.

Фазовая переменная — величина, характеризующая физическое или информационное состояние моделируемого объекта.

Целесообразно вспомнить понятие величины (физической величины), через которое определяется фазовая переменная (ФП).

Величина (физическая величина) — характеристика объектов или явлений материального мира, качественно общая множеству объектов или явлений, но количественно индивидуальное для каждого из них.

Физическая величина представляет собой либо обобщённое понятие (длина, масса, площадь и т.п.), либо индивидуальную характеристику конкретного объекта (сопротивление резистора R=5 МОм, ёмкость конденсатора С=5 мF).

Значение конкретной физической величины (её количественное выражение) — представление о конкретной физической величине в виде некоторого числа принятых для неё единиц.

X = { X } [ X ] (2.1)

где: X — значение конкретной физической величины;

{ X } — числовое значение (отвлеченное число);

[ X ] — единица физической величины.

В отличие от ФП параметр — это величина, характеризующая некоторое свойство объекта или режим его функционирования. Технологические объекты управления, как правило, состоят из нескольких подсистем различной природы, которые характеризуются двумя типами фазовых переменных: поток I и потенциал U. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в ММ технической системы. Вид фазовой переменной зависит от физической природы системы (таблица 2.1).

Таблица 2.1

Физическая природа системы	Потенциал	Поток
Механическая поступательная	Скорость - v м/с	Сила - FН
Пневмогидравлическая	Давление - P Па	Расход - M кг/с
Тепловая	Температура - T 0К	Тепловой поток - QВТ
Электрическая	Напряжение - U В	Ток - I А

Законы функционирования элемента (компонента) подсистемы задаются компонентными уравнениями, связывающими, как правило, разнородные фазовые переменные, относящиеся к данному элементу, т.е. компонентные уравнения связывают переменные типа поток и потенциал. Для простых элементов электрической природы компонентные уравнения имеют следующий вид:

, (2.2)

где: а — параметр элемента;

I — фазовая переменная типа поток;

U — фазовая переменная типа потенциал.

Для сложных объектов компонентные уравнения можно записать в виде:

(2.3)

где: V = (U, W) — вектор фазовых переменных;

U — под вектор фазовых переменных, характеризующих запасы энергии в элементах объекта;

t — время;

W — вектор остальных фазовых переменных.

Компонентные уравнения могут быть линейными и нелинейными, алгебраическими, ОДУ или интегральными. Они получаются на основе знаний о конкретной предметной области. Для большинства элементов технических систем компонентные уравнения изучались в прикладных дисциплинах.

Компоненты уравнения получают либо теоретически, либо физическим тестированием, либо математическим моделированием на микро уровне.

Важно помнить, что между подсистемами различной физической природы существует аналогия.

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших (базовых, типовых) пассивных элементов:

1) элемент рассеивания (диссипации) энергии, где происходит преобразование любой энергии в тепловую. Это элемент типа R — сопротивление для электрической подсистемы.

2) элемент накопления энергии типа “ёмкость” — С (накопление кинетической энергии).

3) элемент накопления энергии типа “упругость” — L (накопление потенциальной энергии).

Так для электрической системы фазовыми переменными являются: типа поток — ток І [А, Кл / с]; типа потенциал — напряжение U [В].

Компонентные уравнения простейших элементов:

1) уравнение для элемента сопротивление: , (2.5)

где: R — электрическое сопротивление, [Ом];

g — проводимость.

2) уравнение для элемента ёмкость: , (2.6)

где: С — электрическая ёмкость, [Ф].

3) уравнение для элемента индуктивность: , (2.7)

где: L — электрическая индуктивность, [Гн].

Для механической поступательной системы фазовые переменные: типа поток — сила F, H, типа потенциал — скорость V, м / с.

Компонентные уравнения типовых элементов:

1. , где: ; — коэффициент вязкого трения.

2. , m — масса в кг — аналог электрической ёмкости.

3. Уравнение пружины F = k · x, где: x — перемещения, k — жесткость пружины:

; ,

где: — аналог электрической индуктивности.

Кроме пассивных выделяют активные базовые элементы - источники

Более подробно фазовые переменные и компонентные уравнения простых элементов этих систем (кроме механической упругой) приведены в литературе. [Системы автоматизированного проектирования в 9-ти кн. Кн. 4. Математические модели технических объектов: Учебное пособие для втузов/ В.А. Трудоношин, Н.В Пивоварова; под ред. И.П. Норенкова. – М.: Высш. шк.,1986.]

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

1. Как определяется физическая величина?

2. Какие типы фазовых переменных используют при создании макро модели?

3. Каким образом задаётся закон функционирования элемента (компонента)?

4. Как можно получить компонентное уравнение?

§ 2.2.2. Описание связей между элементами одной природы

Учебные элементы параграфа:

1. Виды топологических уравнений.
2. Аналогия компонентных и топологических уравнений.
3. Критическая протяженность объекта.
4. Источники потока субстанции и их виды.
5. Графическое обозначение базовых элементов.

Связь между однородными фазовыми переменными, относящимися к разным элементам подсистемы, задаётся топологическими уравнениями, полученными на основании сведений о структуре подсистемы.

Топологические уравнения — уравнения, связывающие однотипные фазовые переменные различных элементов объекта и отражающие топологию взаимосвязей его элементов. Общий вид топологических уравнений (ТУ):

F₂ (V) = 0 ( 2.8 )

ТУ выражают действие законов сохранения субстанции (вещество, энергия, количество движения), условия равновесия сил, неразрывности потоков и т.д.

Рассмотрим топологические уравнения для электрической подсистемы.

Уравнение равновесия (Первый закон Кирхгофа):

(2.9)

где: I_k — ток k -той ветви;

р — множество номеров ветвей инцидентных (прилегающих) к этому узлу.

Уравнение непрерывности (Второй закон Кирхгофа):

(2.10)

где: j — номер ветви;

q — множество номеров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Топологические уравнения строго справедливы для установившихся режимов, но их можно применять и в тех случаях, когда временем распространения возбуждения по линиям связи можно пренебречь.

Время распространения возбуждения зависит от физической природы подсистемы, т.е. от скорости распространения возмущений в соответствующей среде и размеров этой среды в конкретном объекте. Под возбуждением понимается изменение фазовых переменных.

Критической длиной _кр называют приближенный предельный размер среды, при превышении которого необходимо учитывать время распространения возмущений. Оценить _кр можно по формуле:

_кр = Δt · υ,

где: υ — скорость распространения возбуждения в среде, например для электрической подсистемы это скорость света 3·10⁸ м / с;

Δt — интервал времени, характеризующий временную точность рассмотрения процессов.

Если моделируется электрический объект в нано секундном диапазоне: Δt = 10 ^–9 с, то критическая длина будет 0.3 м.

Приведенные выше типовые элементы — линейные, однако, элементы подсистем могут быть и нелинейными, зависящими от режима работы.

Если к набору типовых линейных и нелинейных элементов добавить зависимые и независимые источники типа источник потока I и источник потенциала Е, то получится база двухполюсников, на основе которых можно получать математические макромодели практически любых технических объектов. Различают источники двух типов: независимые и зависимые. Уравнения источников: E = f(Z), I= f(Z), где Z время, константа или фазовая переменная.

Независимые источники используются для моделирования постоянных воздействий на объект, например, сила тяжести, может быть отражена постоянным источником силы F= mg, const.

Зависимые источники делятся на две группы:

1) источники, зависимые от времени - E = f(t);

2) источники, зависимые от фазовых переменных Q= k ΔP^0.5.

Источники первой группы используются для моделирования внешних воздействий на объект. Источники, зависимые от фазовых переменных используются для отражения нелинейных свойств объекта, а также для установления взаимосвязей между подсистемами различной природы.

Для изображения простых элементов используют условные графические обозначения (рис. 2.4).

Условные графические обозначения элементов:

а) б)

а) электрическая подсистема; б) механическая подсистема

Рис. 2.4 Условные обозначения типовых элементов

Вопросы для самоконтроля и подготовки к МК:

Какие типы топологических уравнений используют для создания макро модели?

Какие типы источников субстанции используют при построении макро модели?

Как представляются элементы макро модели графически?