![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В таблиці записані статистичні дані з п’ятнадцяти ділянок про урожайність зернових Y в залежності від кількості добрив X.
Y =уі, ц/га | |||||||||||||||
X =хі, т/га |
На основі приведених даних потрібно:
1. Виявити кореляційно - регресійну залежність урожайності від кількості добрив; обчислити числові характеристики: вибірковий кореляційний момент та коефіцієнт кореляції.
2. На координатній площині побудувати точки (хі, уі). Проаналізувати, чи існує лінійна залежність між випадковими величинами X та Y.
3. Знайти рівняння лінії регресії та за цим рівнянням побудувати графік прямої.
4. Скориставшись знайденим рівнянням лінії регресії знайти (спрогнозувати) якою буде урожайність, якщо кількість добрив прийме наступне значення: а) х= 7,5; б) х= 32.
ВКАЗІВКИ ПО ВИКОНАННЮ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ ПОТОЧНОГО ТА ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ СТУДЕНТІВ З РОЗДІЛУ «МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА»
1. Записати емпіричну функцію розподілу для вибірки, яка представлена статистичним рядом:
хі | -2 | |||
nі |
Розв’язання: Емпіричною функцією розподілу називається функція, яка має вигляд
,
де n- обсяг вибірки, nх- число значень випадкової величини Х у вибірці, які менші за х. Тоді запишемо емпіричну функцію розподілу
2. Побудувати гістограму частот для інтервального статистичного ряду
Х | 2 - 4 | 4 - 6 | 6 - 8 | 8 - 10 | 10 - 12 | 12 - 14 |
nі |
Розв’язання: Знайдемо суму частот вибірки: .
Нижче, на рисунку зображена гістограма. При цьому, основа кожного прямокутника дорівнює довжині інтервалу , а висота дорівнює
.
3. Протягом 10 днів в банку фіксували кількість підписаних договорів за один день. Отримали наступну вибірку: 15, 20, 14, 17, 15, 22, 18, 17, 20, 21. Знайти вибіркове середнє, вибіркову дисперсію та незміщену вибіркову дисперсію для кількості підписаних договорів за один день.
Розв’язання: Для знаходження вибіркового середнього скористаємось формулою (2):
Вибіркову дисперсію знайдемо за формулою (4):
=
Незміщена (виправлена) вибіркова дисперсія:
.
4. Із сукупності, що розподілена за нормальним законом зроблена вибірка об’єму . З надійністю
знайти довірчий інтервал для математичного сподівання а, якщо дисперсія дорівнює а)
, б)
. Як зміниться довірчий інтервал, якщо об’єм вибірки збільшиться. Розв’язати задачу для випадку
.
Розв’язання: За формулою (9) знайдемо t
. Тоді з таблиці 2 знайдемо число t=1,96.
З нерівності (8) отримаємо такий довірчий інтервал:
для випадку а):
для випадку б):
Отже, при збільшенні дисперсії довірчий інтервал збільшується, а отже точність оцінки зменшується.
У випадку отримаємо наступні довірчі інтервали:
а)
б)
5. Для даного інтервального статистичного ряду перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу при рівні значущості = 0.05.
Х | 3,0-3,6 | 3,6-4,2 | 4,2-4,8 | 4,8-5,4 | 5,4-6,0 | 6,0-6,6 | 6,6-7,2 |
![]() |
Розв’язання: Перевіримо цю гіпотезу, скориставшись критерієм Пірсона. Нормальний закон розподілу залежить від двох параметрів: та
. Замінимо ці параметри їх відповідними точковими оцінками
. Для цього знайдемо вибіркове середнє та вибіркову дисперсію, причому за представника кожного інтервалу візьмемо його середину:
Отже .
Для нормального закону розподілу ймовірність попадання випадкової величини Х на інтервал знаходять за формулою:
,
де - функція Лапласа (див. Таблицю 2). Знайдемо значення теоретичних частот
для кожного інтервалу. Покажемо як це робиться на прикладі третього інтервалу:
Потім складаємо порівняльну таблицю чисел: статистичних частот і відповідних їм значень
(
).
інтервали | 3,0-3,6 | 3,6-4,2 | 4,2-4,8 | 4,8-5,4 | 5,4-6,0 | 6,0-6,6 | 6,6-7,2 |
![]() | |||||||
![]() | 2,48 | 11,23 | 28,46 | 39,60 | 30,92 | 13,45 | 3,25 |
За формулою (13) визначаємо міру відхилення емпіричних частот від теоретичних: .
Визначимо за формулою (14) число степенів свободи: k =7-2-1=4. За таблицею 3 знайдемо критичне значення критерію при рівні значущості :
.
Відповідь: оскільки спостережене значення критерію менше ніж критичне, то гіпотеза про нормальний закон розподілу приймається.
6. В таблиці представлені статистичні дані про капітальні вкладення Х (в тис. грн..) і чистий дохід У (в тис. грн..). Знайти рівняння лінії регресії.
Х=хі | |||||||
У=уі | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,2 | 4,6 | 5,0 | 5,2 |
Розв’язання: Спочатку знайдемо числові характеристики (вибіркове середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення) окремо для випадкової величини Х та У.
,
,
,
.
Тоді відповідні середньоквадратичні відхилення будуть
,
.
Оскільки так як дані таблиці не повторюються, то для обчислення кореляційного моменту скористаємось формулою (15). В даному випадку будемо мати: . Тоді вибірковий коефіцієнт кореляції знайдемо за формулою (17):
.
Підставимо знайдені значення в рівняння (18) і отримаємо:
.
Отже, рівняння лінії регресії має вигляд .
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ (денна форма)
Кафедра вищої математики
Навчальний предмет теорія ймовірностей та математична статистика
Спеціальність Семестр 2
Екзаменаційний білет №
Завдання 1
а) розв’яжіть рівняння
б) Біноміальний закон розподілу. У виробництві деякої продукції третій сорт становить 25%. Знайти ймовірність того, що з семи навмання взятих виробів цієї продукції не менше ніж три будуть третього сорту.
Завдання 2
а) Закон розподілу дискретної випадкової величини.
Випадкова велична Х має такий закон розподілу
хі | ||||
рі | 0,16 | р | 0,34 | 0,25 |
Побудувати полігон розподілу, функцію розподілу та її графік. Знайти .
б) Обчислити a, M(x), D (x), якщо
Завдання 3
а) Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини.
Ймовірність укладання угоди за результатами ділових переговорів дорівнює 0,7. Випадкова величина Х – число укладених угод після 4 ділових зустрічей. Знайти закон розподілу випадкової величини. Знайти
б) Щільність розподілу неперервної випадкової величини має вигляд
Знайти параметр С, та .
Завдання 4
а) Задано таблицю розподілу системи двох випадкових величин
Х У | ||||
0,2 | 0,15 | 0,15 | а | |
0,21 | 0,05 | а | 0,05 |
Обчислити кореляційний момент системи випадкових величин.
б) Щільність розподілу функції випадкового аргументу.
Задано Знайти g (y), якщо Y=x2
Завдання 5
а) Середнє квадратичне відхилення вибірки. За даними вибірки знайти вибіркову середню і середнє квадратичне відхилення.
0;1;0;2;3;1;2;1;3;0;1;2;1;3;1;2;0;1;2;3.
б) Маємо дані про розміри основних фондів на випадково вибраних підприємствах
3,8,1,35,42,03,23,31,43,72,73,92,06,15,5,25,53,93,24,84,34,12,2
Побудуйте інтервальний статистичний ряд , обчисліть
та побудуйте гістограму.
Завдання 6
а) З великої кількості електричних ламп зроблена вибірка . Середній час горіння ламп із вибірки виявився рівним 10000 годин. З надійністю
Знайти довірчий інтервал для середнього часу горіння електролампи а, якщо його
год.
б) За двовимірним статистичним розподілом вибірки
Х У | |||
- | |||
- |
Записати рівняння регресії:
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 949 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!