Критерий соответствия эмпирических и теоретических частот

(Метод хи-квадрат)

Как бы точно мы ни проводили эксперименты, полученные в результате их фактические данные, как правило, не совпадают с теоретическими частотами. Для сопоставления данных, полученных в результате опыта, с теоретическими используют метод χ² (хи-квадрат), предложенный К.Пирсоном.

Хи-квадрат вычисляют по формуле:

(p_ф - p_т)² где χ² - критерий соответствия,

χ² = ∑ ──────; p_ф - фактические частоты,

p_т p_т - теоретические частоты.

При сопоставлении частот исходят из нулевой гипотезы. В случае полного совпадения фактических и теоретических частот χ² = 0. Если χ²≠ 0, значит существует несоответствие. Носит отклонение случайный характер или оно закономерно, узнают путем сопоставления полученных значений χ² с критическими. Критические значения χ² для трех уровней вероятности приведены в табл.9.

При определении критических значений χ² учитывают число степеней свободы, которое при нормальном распределении определяют по формуле

v = n - 3. При изучении распределения особей второго поколения по фенотипу число степеней свободы равно числу фенотипических классов минус единица (v = n - 1). Если найденное значение χ² окажется меньше критического, то нулевая гипотеза подтверждается и мы считаем, что отклонение случайно, если же χ² больше критического, то отклонение не случайно, а достоверно.

9. Критические значения критерия (хи-квадрат) Пирсона для

трех уровней вероятности

Степени свободы (n)	Уровни вероятности (Р)	Степени свободы (n)	Уровни вероятности (Р)
0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999
	3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92	6,64 9,21 11,34 13,28 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67	10,83 13,82 16,27 18,46 20,52 22,46 24,32 26,12 27,88		18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 31,41	23,21 24,72 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 37,57	29,59 31,26 32,91 34,53 36,12 37,70 39,25 40,79 45,32

Использование метода хи-квадрат продемонстрируем на примере. В конезаводе при использовании серых жеребцов на серых матках получено 48 жеребят, из которых 35 серых, 10 вороных и 3 рыжих. Определить, соответствует ли полученное расщепление потомства по масти эпистазу. Теоретически во втором поколении расщепление при наследовании признаков по типу эпистаза: 12: 3: 1. Результаты расчетов представим в виде таблицы 10.

Число степеней свободы в нашем случае будет v = n - 1 или v = 3 - 1 = 2. По таблице находим, что для двух степеней свободы критическое значение
χ² = 5,99. В нашем примере χ² = 1,77, что значительно меньше критического. Значит, отклонение от теоретических данных случайно и гипотеза о наследовании масти по типу эпистаза подтверждается.

10. Алгоритм вычисление критерия χ²

Показатели	Число жеребят	Всего
серые	вороные	рыжие
Фактически (рф) Теоретически (рт) (рф- рт) (рф- рт)2 (рф- рт)2: рт	-4 0,44	1,00	0,33	– – χ2=1,77

Метод χ² можно применять и для сравнения вариационных рядов. Для этого строят два совмещенных вариационных ряда и делают сравнение частот при распределении.

Так, например, при изучении молочной продуктивности чистопородных симментальских коров и их помесей с голштинами получено следующее распределение частот по классам (табл.11). Применив критерий соответствия, мы получили, что χ² = 14,25. Число степеней свободы в этом случае равно v = n - 3 = 7 - 3 = 4. При 4 степенях свободы критическое значение χ² при уровне вероятности P > 0,99 равно 13,28. Это значит, что соответствия нет, то есть помесные коровы достоверно более продуктивны, чем симментальские сверстницы.

11. Определение соответствия фактических и теоретических частот методом χ²

Классы по удою	Помеси (рф)	Чистопор. животные (рт)	рф - рт	(рф - рт)2 –––––––– рт
2000-2499 2500-2999 3000-3499 3500-3999 4000-4499 4500-4999 5000-6000			-2 -11 +3 +2 +2 +2 +4	4:8=0,50 121:18=6,72 9:9=1,00 4:8=0,50 4:4=1,00 4:3=1,33 16:5=3,20

Сумма = 14,25

Задачи на применение критерия соответствия (хи-квадрат)

1. При скрещивании черных коров с красными быками все потомство было черным. При разведении в "себе" животных первого поколения получено 47 черных и 15 красных телят. Определить, используя критерий χ², соответствуют ли полученные результаты второму закону Менделя.

2. У некоторых пород кур окраска оперения наследуется промежуточно. Куры генотипа АА имеют черную окраску, аа - белую. Гетерозиготная птица - Аа имеет голубое оперение. На ферме при спаривании голубых петухов с голубыми курами получено 460 черных, 700 голубых и 380 белых цыплят. Используя метод хи-квадрат определить, соответствует ли расщепление по окраске оперения промежуточному типу наследования признака.

3. В неблагоприятный по кормовым условиям год в стаде крупного рогатого скота при отеле 560 коров родилось 315 бычков и 345 телок. С помощью χ² установить, достоверно ли увеличивается число бычков при низком уровне кормления коров-матерей.

4. В опыте с дрозофилой при скрещивании серых гетерозиготных мух с черными получено 85 серых и 93 черных потомков. Используя критерий хи-квадрат, определить, соответствуют ли полученные результаты теоретическим расчетам.

5. При изучении полиморфных систем белков крови у животных симментальской породы по локусам трансферрина и церулоплазмина получены следующие результаты:

Трансферрин	Церулоплазмин
Генотипы	фактич.	теоретич.	Генотипы	фактич.	теоретич.
АА АД ДД АЕ ДЕ ЕЕ			АА АВ ВВ

Определить, соответствуют ли полученные результаты теоретически ожидаемым согласно закону Харди-Вайнберга.

6. С помощью метода χ² установить, достоверно ли различаются по многоплодию породы кроликов. Результаты учета многоплодия у 100 крольчих каждой породы приведены в таблице.

Многоплодие, гол.	Породы кроликов
калифорнийская	шиншилла	бабочка
Всего:			–