Однородные дифференциальные уравнения

Уравнения вида называются однородными уравнениями.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=Ux, где U - новая искомая функция. Дифференцируя равенство y=Ux, получим

.

Подставив выражения y и в уравнение, имеем

Это уже уравнение с разделяющимися переменными, найдя его общее решение и заменив U на , получим общее решение исходного уравнения.

Например.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Запишем уравнение следующим образом:

.

Поделим числитель и знаменатель на х²:

, (*)

т.е. получим y как функцию от . Это означает, что данное уравнение однородное. Для решения этого уравнения введем новую функцию U = .

Тогда

y=Ux, .

Используя замену, запишем уравнение (*) в виде

Интегрируя последнее выражение, получим

Заменяя в полученном равенстве U отношением , окончательно имеем

.

Найти общее решение дифференциальных уравнений:

6.18.	.	6.19.	.
6.20.	.	6.21.	.

Найти частное решение дифференциальных уравнений:

6.22.
6.23
6.24.
6.25