Приложение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур

Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , двумя прямыми x = a и x = b и отрезком оси абсцисс , вычисляется по одной из следующих формул:

, если на отрезке ;

, если на отрезке .

Площадь S фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и и двумя прямыми x = a и x = b, где на отрезке , вычисляется по формуле

.

Рассмотрим примеры.

1. Вычислить площадь, ограниченную параболой , прямыми x =2, x =4 и осью абсцисс.

Площадь вычислим, используя формулу . Тогда

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми и осью ординат (рис.3).

Рис. 3

При вычислении искомой площади учтем, что изменены роли осей координат, т.е.:

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы , прямыми x = -3, x = -1 и осью абсцисс.

На отрезке функция отрицательна. Поэтому для вычисления площади рассматриваемой фигуры воспользуемся формулой

.

Получим

4. Вычислить площадь между линиями .

Рис.4

Искомая площадь изображена на рис. 4 и представляет собой разность между площадью прямоугольного треугольника OMx ₀ и площадью криволинейного треугольника, ограниченного сверху участком параболы:

.

Абсциссу x ₀ точки пересечения графиков находим, решая совместно уравнения , откуда .

Подставляя полученное значение верхнего предела интегрирования, получаем

5.31 Вычислить площадь, ограниченную гиперболой , осью абсцисс и ординатами .

5.32 Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями . Изобразить фигуру графически.

5.33 Найти площадь фигуры, заключенной между осью абсцисс и кривой .

5.34 Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми и осью абсцисс.

5.35 Вычислить площадь фигуры, образованной линиями .

5.36 Определить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

5.37 Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми и осью абсцисс.

5.38 Вычислить площадь между линиями и .

5.39 Определить площадь, ограниченную экспонентой , осью абсцисс и ординатами .

5.40 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , осью абсцисс и прямыми .