Лабораторная работа №14. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Наиболее распространенным точным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1пх_п = b ₁,

(1)

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а_2пх_п = b ₂,

........................................

а _{s 1}х₁+ а _{s 2}х₂+...+ а_sпх_п = b_s.

Будем производить над ней элементарные преобразования. Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы (1) с добавлением столбца свободных членов, другими словами расширенную матрицу Ā для системы (1):

Предположим, что с помощью таких преобразований удалось привести матрицу Ā к виду:

где все диагональные элементы b ₁₁, b ₂₂,..., b_rr отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю. Матрице (3) соответствует система уравнений:

b₁₁x₁+b₁₂x₂+...+b_1rx_r+...+b_1nx_n=c₁,

(4),

b₂₂x₂+...+b_2rx_r+...+b_2nx_n=c₂,

......................................

b_rrx_r+...+b_rnx_n=c_r,

которая получается из системы (1) с помощью некоторого числа элементарных преобразований и, следовательно, равносильна системе (1). Если в системе (4) r=n, то из последнего уравнения, имеющего вид b_nnx_n=c_n (где b_nn ≠ 0), находим единственное значение x_n, из предпоследнего уравнения – значение x_n-1 (поскольку x_n уже известно) и т.д., наконец, из первого уравнения – значение x ₁. Итак, в случае) r=n система имеет единственное решение. Если же r<n, то система (4) легко приводится к системе вида:

х₁=a₁, _{r +1}х _{r +1}+...+a_{1 n} х _n +b₁,

r<n,

(5),

х₂=a₂, _{r +1}х _{r +1}+...+a_{2 n} х _n +b₂,

............................................

х _r =a _r, _{r +1}х _{r +1}+...+a _{r n} х _n +b _r.

которая и является по существу общим решением системы (1).

Неизвестные х r+1,..., х n называются свободными. Из системы (5) можно будет найти значения х1,..., х r.

Приведение матрицы Ā к виду (3) возможно только в том случае, когда исходная система уравнений (1) совместна. Если же система (1) несовместна, то такое приведение невозможно. Это обстоятельство выражается в том, что в процессе преобразований матрицы Ā в ней появляется строка, в которой все элементы равны нулю, кроме последнего. Такая строка соответствует уравнению вида:

0*х₁+0*х₂+...+0*х _n = b,

которому не удовлетворяют никакие значения неизвестных, так как b ≠0. В этом случае система несовместна.

В процессе приведения системы (1) к ступенчатому виду могут получаться уравнения вида 0=0. Их можно отбрасывать, так как это приводит к системе уравнений, эквивалентных прежней.

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя все преобразования над её строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразований матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Решим следующую систему уравнений с 4-мя неизвестными:

2х₁+5х₂+4х₃+х₄=20,

х₁+3х₂+2х₃+х₄=11,

2х₁+10х₂+9х₃+7х₄=40,

3х₁+8х₂+9х₃+2х₄=37.

Выпишем расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных с добавлением столбца свободных членов.

Произведём анализ строк расширенной матрицы:

- к элементам 2-ой строки прибавим элементы 1-ой, делённые на (-2);

- из 3-ей строки вычтем 1-ю строку;

- к 4-ой строке прибавим 1-ю, умноженную на (-3/2).

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel– 97.

1. Включите компьютер.

2. Подождите пока загрузится операционная система Windows, после чего откройте окно MicrosoftExcel.

3. Заполните ячейки таблицы значениями расширенной матрицы (рис. 11.1)

Рис. 11.1 Рис. 11.2

4. Для выполнения выбранного словесного алгоритма производим следующие действия.

· Активизируйте ячейку А5 и с клавиатуры занесите в неё формулу вида =А2+А1/(-2), после чего автозаполнением занесите численные результаты в ячейки В5¸Е5;

·В ячейке А6 разместим результат вычитания 1-ой строки из 3-ей, и снова, пользуясь автозаполнением, заполним ячейки В6¸Е6;

·в ячейке А7 запишем формулу вида =А4+А1*(-3/2) и автозаполнением занесём численные результаты в ячейки В7¸Е7.

·Далее скроем 2, 3 и 4 – строки, которые нам уже не нужны. Для этого воспользуемся пунктом меню ФОРМАТ®СТРОКА®СКРЫТЬ (см.§ 6). Результат показан на рис. 11.2.

5. Снова произведём анализ строк получившихся в результате элементарных преобразований матрицы, чтобы привести её к треугольному виду.

·К 6-ой строке прибавим 5-ю, умноженную на число (-10);

·из 7-ой строки вычтем 5-ю.

Записанный алгоритм реализуем в ячейках А8, А9, после чего скроем 6 и 7 – строки (см. рис. 11.3).

Рис. 11.3 Рис. 11.4

6. И последнее, что нужно сделать, чтобы привести матрицу к треугольному виду – это к 9-ой строке прибавить 8-ю, умноженную на (-3/5), после чего скрыть 9-ю строку (рис. 11.4).

Как вы можете видеть, элементы получившейся матрицы находятся в 1, 5, 8 и 10 строках, при этом ранг получившейся матрицы r = 4, следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение. Выпишем получившуюся систему:

2х₁+5х₂+4х₃+ х₄ =20,

0,5х₂ + 0,5х₄=1,

5х₃+х₄ =10,

-0,6х₄=0.

Из последнего уравнения легко находим х₄=0; из 3-го уравнения находим х₃=2; из 2-го – х₂=2 и из 1-го – х₁=1 соответственно.