Лабораторная работа №12. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Пусть дана система n -линейных уравнений с n- неизвестными х₁, х₂,..., х _n:

а ₁₁х₁+ а ₁₂х₂+...+ а _{1 n}х_n = b ₁,

(1)

а ₂₁х₁+ а ₂₂х₂+...+ а _{2 n}х_n = b ₂,

...............................

а_{n 1}х₁+ а_{n 2}х₂+...+ а_nnх_n = b_n.

Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, и её определитель называются соответственно матрицей системы (1) и определителем этой системы.

Пусть А _ij (i, j = 1, 2,..., n)– алгебраические дополнения элементов определителя D. Преобразуем систему (1) так, чтобы каждое из её уравнений содержало только одно неизвестное. Для этого умножим первое уравнение системы на А₁₁, второе – на А₂₁,..., n -е – на А _{n 1} и сложим их; затем умножим уравнения системы соответственно на А₂₁, А₂₂,..., А _{n 2} и сложим их, и т.д., наконец, умножим уравнения системы соответственно на А _{n 1}, А _{n 2},..., А _nn и опять сложим. Получим новую систему уравнений:

(2)

Dх₁= b ₁А₁₁+ b ₂ А₂₁+...+ b_n А _{n 1},

Dх₂= b ₁А₁₂+ b ₂ А₂₂+...+ b_n А _{n 2},

.......................................,

Dх _n = b ₁А_{1 n} + b ₂ А_{2 n} +...+ b_n А _nn.

Правые части уравнения системы (2) обозначим соответственно символами D1, D2,..., Dn, где

Тогда система уравнений (2)примет вид:

(4)

Dх₁=D₁,

Dх₂=D_2,

............,

Dх _n =D _n.

Если D¹0, то из этих уравнений находим

Полученные формулы называются формулами Крамера; они дают решение системы (2), полученной из системы (1).

Формулы Крамера (5) являются единственным решением системы (1), поскольку система (2) выведена из системы (1). Таким образом, следует

Теорема: если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера.

Правило Крамера. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое следующим правилом: значение каждого из переменных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом переменном столбцом свободных членов.

Решим следующую систему уравнений с 4-мя неизвестными:

2х₁+5х₂+4х₃+х₄=20,

х₁+3х₂+2х₃+х₄=11,

2х₁+10х₂+9х₃+7х₄=40,

3х₁+8х₂+9х₃+2х₄=37.

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных данной системы D= -3, отличен от нуля, поэтому к системе применимо правило Крамера. Используя редактор формул, запишем определители D₁, D₂, D₃ и D₄, используя формулу (3).

Для этого:

1. Включите компьютер.

2. После того, как на экране монитора появится рабочий стол операционной системы Windows, откройте окно Microsoft Word.

3. Вставьте объект Microsoft Equation 3. 0.

4. Запишем определитель D₁ в формульный редактор. Для этого:

·

Рис. 9.1

запишите D₁, используя шаблон нижних индексов ;

· вставьте шаблон определителя 4-го порядка в формульном редакторе;

· занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул определители D₂¸D₄ (см. рис. 9.1)

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel– 97.

5. Откройте окно MicrosoftExcel.

6. Перепишите определители D, D₁, D₂, D₃ и D₄, из Word в Excel (см. рис. 9.2).

Рис. 9.2 Рис. 9.3

7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒ_х на стандартной панели, найдите, чему будут равны все пять определителей (см. рис. 9.3)

Получаем, что D= -3, D1= -3, D2= -6, D3= -6 и D4= -1,11Е-14. Так как результат вычислений определителя D4 записан в виде числа с мантиссой, следовательно, поменяем формат ячейки Е25 на ДРОБНЫЙ, после чего определитель D4 станет равным нулю.

8. Найдём неизвестные х₁, х₂, х₃, х₄. Для этого:

· активизируйте ячейку G10 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₁=1;

· активизируйте ячейку G15 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₂=2;

· активизируйте ячейку G20 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₃=2;

· активизируйте ячейку G25 и запишите в не формулу: , после чего нажмите на клавишу Enter. В результате получим х₄=0.