Интегрирование элементарных функций

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае имеет место теорема:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде

где A_i — некоторые комплексные числа, а ψ _i — алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от y берётся в элементарных функциях, то верно

где ψ — алгебраическая функция, z_{r + 1} — логарифм или экспонента алгебраической функции и т. д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

где ρ _i — алгебраические функции своих аргументов. Если — семейство решений этой системы, то

откуда

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.