Иерархический кластерный анализ в SPSS

Рассмотрим процедуру иерархического кластерного анализа в паке­те SPSS (SPSS). Процедура иерархического кластерного анализа в SPSS предусматривает группировку как объектов (строк матрицы данных), так и переменных (столбцов). Можно считать, что в последнем случае роль объектов играют переменные, а роль переменных — столбцы.

В этом методе реализуется иерархический агломеративный алгоритм, смысл которого заключается в следующем. Перед началом кластеризации все объекты считаются отдельными кластерами, в ходе алгоритма они объединяются. Вначале выбирается пара ближайших кластеров, которые объединяют­ся в один кластер. В результате количество кластеров становится равным N-1. Процедура повторяется, пока все классы не объединятся. На любом этапе объединение можно прервать, получив нужное число кластеров. Таким обра­зом, результат работы алгоритма агрегирования зависит от способов вычисле­ния расстояния между объектами и определения близости между кластерами.

Для определения расстояния между парой кластеров могут быть сформулированы различные подходы. С учетом этого в SPSS предусмот­рены следующие методы:

• Среднее расстояние между кластерами (Between-groups linkage),
устанавливается по умолчанию.

• Среднее расстояние между всеми объектами пары кластеров с уче-

том расстояний внутри кластеров(Within-groups linkage).

• Расстояние между ближайшими соседями — ближайшими объектами
кластеров (Nearest neighbor).

• Расстояние между самыми далекими соседями (Furthest neighbor).

• Расстояние между центрами кластеров (Centroid clustering), или цен-
троидный метод. Недостатком этого метода является то, что центр
объединенного кластера вычисляется как среднее центров объеди­
няемых кластеров, без учета их объема.

• Метод медиан — тот же центроидный метод, но центр объединенного
кластера вычисляется как среднее всех объектов (Median clustering).

• Метод Варда.

Пример иерархического кластерного анализа

Порядок агломерации (протокол объединения кластеров) представ­ленных ранее данных приведен в таблице 13.2. В протоколе указаны такие позиции:

• Stage — стадии объединения (шаг);

• Cluster Combined - объединяемые кластеры (после объединения кластер
принимает минимальный номер из номеров объединяемых кластеров);

• Coefficients — коэффициенты.

Так, в колонке Cluster Combined можно увидеть порядок объедине­ния в кластеры: на первом шаге были объединены наблюдения 9 и 10, они образовывают кластер под номером 9, кластер 10 в обзорной табли­це больше не появляется. На следующем шаге происходит объединение кластеров 2 и 14, далее 3 и 9, и т.д.

Таблица 13.2. Порядок агломерации

	Cluster Combined	Coefficients
Cluster 1	Cluster 2
			,000
			1.461E-02
			l,461E-02
			1.461E-02
			l,461E-02
			3.490E-02
			3,651E-02
			4Д44Е-02
			5Д18Е-02
			,105
			,120
			1,217
			7,516

В колонке Coefficients приведено количество кластеров, которое следовало бы считать оптимальным; под значением этого показателя подразумевается расстояние между двумя кластерами, определенное на основании выбранной меры расстояния. В нашем случае это квадрат евклидового расстояния, определенный с использованием стандартизиро­ванных значений. Процедура стандартизации используется для исключе­ния вероятности того, что классификацию будут определять переменные, имеющие наибольший разброс значений. В SPSS применяются следую­щие виды стандартизации:

• Z-шкалы (Z-Scores). Из значений переменных вычитается их сред­
нее, и эти значения делятся на стандартное отклонение.

• Разброс от -1 до 1. Линейным преобразованием переменных добива-
ются разброса значений от -1 до 1.

• Разброс от 0 до 1. Линейным преобразованием переменных добива-

ются разброса значений от 0 до 1.

• Максимум 1. Значения переменных делятся на их максимум.

• Среднее 1. Значения переменных делятся на их среднее.

• Стандартное отклонение 1. Значения переменных делятся на стан-
дартное отклонение.

Кроме того, возможны преобразования самих расстояний, в частно­сти, можно расстояния заменить их абсолютными значениями, это акту­ально для коэффициентов корреляции. Можно также все расстояния пре­образовать так, чтобы они изменялись от 0 до 1.