Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Циклические коды являются разновидностью систематических кодов. Они получили широкое распространение из-за простоты кодирования и декодирования. Все разрешённые кодовые комбинации производящей матрицы могут быть получены циклическим сдвигом одной разрешённой комбинации, называемой образующей для данного кода.
Любой -разрядный код можно представить в виде полинома степени
,
где - основание счисления,
- коэффициенты, принимающие значения «0» или «1», если .
Например, комбинацию 110101 можно записать как
.
Циклический сдвиг эквивалентен умножению многочлена на .
Действительно,
.
Но в кодовой комбинации должно быть всего членов, причём степень полинома не должна превышать . Чтобы удовлетворить этому условию, положим . Тогда получим
,
т.е. получили циклический сдвиг. Если код, выраженный в виде полинома, принадлежит разрешённой кодовой комбинации, то кодовая комбинация, полученная циклическим сдвигом, также принадлежит разрешённой кодовой комбинации. Из условия того, что имеем
. (5.16)
Пусть имеется полином степени . Среди полиномов выделим полиномы, которые делятся только лишь на самого себя и на 1. Такие полиномы называются простыми или неприводимыми.
Рассмотрим неприводимый полином и различные кодовые комбинации, выраженные в виде полиномов степени . Из всей совокупности полиномов к числу разрешённых кодовых комбинаций отнесём только те, которые делятся без остатка на полином . Определённый таким образом полином степени называется образующим.
Циклическими кодами называются коды, каждая кодовая комбинация которых, выраженная в виде полинома, имеет степень, не превышающую , и нацело делится на образующий полином степени .
Ввиду того, что циклические коды относятся к группе систематических кодов, то можно построить производящую матрицу.
Каноническая форма производящей матрицы размерности (5.10) состоит из зеркального отражения единичной подматрицы размерности , (матрица отражения [Марпл]), и проверочной подматрицы размерности .
. (5.23)
Каждую строку матрицы разделим на неприводимый полином , дающий n остатков, и заменим нули в соответствующей строке проверочной части матрицы на остаток . Результирующая матрица будет производящей матрицей циклического кода .
Пример 5.5. Пусть n = 7, k = 4, r = 3. Первоначальное значение производящей матрицы имеет вид
Выберем образующий полином
Таблица 5.6 | ||||
Номер строки | ||||
Код остатка |
, который дает 7 остатков при делении кода ошибки на образующий полином. Разделим коды строк производящей матрицы на код образующего полинома . В результате имеем четыре остатка, значения которых приведены в таблице 5.6. После замены нулей в проверочной части матрицы соответствующими кодами остатков получим каноническую форму производящей матрицы
.
Полученная производящая матрица состоит из четырёх строк (кодов). Все остальные =11 кодов, кроме кода 0000000, могут быть получены линейной комбинацией строк производящей матрицы .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 529 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!