Гривень 5 страница

Рис. 10.1. Графік зміни обсягу запасів у випадку,
коли дефіцит заборонено

Для визначення економічно обґрунтованих параметрів і оптимального циклу управління запасами візьмемо до уваги витрати на зберігання одиниці продукції впродовж одиниці часу – , а також витрати, пов’язані з відновленням поповнення запасів продукції – /залишаємо ці позначення такими ж, що були використані у базовій задачі/.

За наведених позначень задача мінімізації середніх за одиницю часу загальних витрат в системі управління запасами – – набирає вигляду:

(10.1)

(10.2)

(10.3)

де параметри , , , та вважаються відомими.

Виявляється, що підсумкові формули розв’язку нашої нелінійної багатовимірної оптимізаційної задачі з обмеженнями можна отримати з формул (9.8) – (9.12) розв’язку базової однопродуктової задачі управління запасами, якщо покласти у зазначених формулах показник питомих втрат внаслідок дефіциту за одиницю часу – (в моделі (10.1) – (10.3) він відсутній) – нескінченно великим. Такий підхід має очевидну економічну інтерпретацію: у випадку надзвичайно високих втрат через дефіцит цей дефіцит є сенс звести до нуля, тобто унеможливити.

Отже, обчислюючи границі при , з формул (9.8) – (9.12) знаходимо розв’язок однопродуктової задачі (10.1) – (10.3) управління запасами за умов заборони дефіциту продукції:

1) оптимальна тривалість циклу:

(10.4)

2) оптимальний максимальний рівень запасів:

(10.5)

3) оптимальний максимальний рівень дефіциту:

(10.6)

– цей результат за умов заборони дефіциту ми й очікували;

4) оптимальні середні за одиницю часу загальні витрати:

(10.7)

5) оптимальний розмір однієї партії поповнення запасів впродовж одного циклу:

(10.8)

Скажімо, якщо скористатися вихідними даними для прикладу щодо виробництва меблевих гарнітурів (підрозділ 9.3):

, , , ,

то у випадку відмови меблевої фабрики від дефіциту (це буде додатковим стимулом для покупців) оптимальна стратегія управління запасами матиме такі характеристики:

· оптимальна тривалість циклу:

(місяці) (дні);

· оптимальний максимальний рівень запасів:

(одиниць продукції);

· оптимальний розмір однієї партії гарнітурів впродовж циклу:

(гарнітурів).

Тоді оптимальні середньомісячні загальні витрати складуть:

(тисяч гривень),

що перевищує оптимальний показник для випадку, коли дефіцит було дозволено, на 2,6 тисяч гривень.

Інші способи знаходження цього розв’язку полягають або у використанні спеціально налаштованого на нашу задачу інструменту " Поиск решения " Excel, або ж у зверненні до інструменту пошуку рішення, який було налаштовано на базову задачу з можливістю дефіциту (рисунки 9.3, 9.4). В останньому випадку потрібно до обмежень базової задачі додати вимогу занулення змінних, що відповідають тривалостям проміжків накопичення та ліквідації дефіциту (клітинки E17 і E18 на рис. 9.3).

У будь якому разі пошук розв’язку оптимізаційної задачі за різними способами посилює рівень обґрунтування майбутнього рішення.

10.2. Оптимальне управління запасами за умов,
що поповнення запасів здійснюється миттєво

Задача, що розглядається, виникає в ситуації, коли запаси поповнюються миттєво, тобто окремими партіями у певні моменти часу. Якщо поповнювати запаси великими партіями, через великі проміжки часу, середній рівень запасів та витрати на їх зберігання будуть високими. Кожне поповнення запасів супроводжується витратами, пов’язаними з оформленням та організацією поставки, які не залежать від розміру партії поставки. Тому, якщо запаси поповнювати меншими партіями, але частіше, зростають витрати, пов’язані зі здійсненням усіх поставок. Задача полягає у визначенні такої стратегії управління запасами, за якої середні за одиницю часу загальні витрати на утримання запасів плюс втрати внаслідок дефіциту та витрати на організацію поповнення запасів були б якнайменшими. Зрозуміло, що пошук цієї стратегії здійснюється з урахуванням попиту на продукцію, що зберігатиметься.

Припустимо, що інтенсивність попиту на продукцію дорівнює одиниць продукції за одиницю часу. Якщо система розпочинає функціонування у момент часу з нульовим запасом продукції, тоді з швидкістю починає накопичуватися дефіцит, який впродовж часу досягне максимального рівня . В момент часу відбувається миттєве поповнення запасів у кількості одиниць продукції, з яких одиниць покривають накопичений до цього дефіцит, а решта – у розмірі – утворюють запас. З моменту часу цей запас починає скорочуватися зі швидкістю та за час досягне нульового рівня. Далі, з моменту часу , цикл зміни обсягу запасів відновиться (рис. 10.2).

x

H

t1

t2

T

t

–h

Рис. 10.2. Цикл зміни обсягу запасів у випадку, коли попит є неперервним,

а поповнення запасів здійснюється миттєво

Щоб визначити параметри , , , , і оптимального циклу управління запасами, потрібно розв’язати задачу нелінійного програмування з обмеженнями:

(10.9)

де – витрати на зберігання одиниці продукції впродовж одиниці часу; – втрати внаслідок дефіциту одиниці продукції впродовж одиниці часу; – витрати, пов’язані з організацією поповнення запасів однією партією продукції; – середні за одиницю часу загальні витрати в системі управління запасами.

Розв'язати цю задачу можна або з використанням інструменту " Поиск решения " Excel, або ж зі зверненням до підсумкових формул (9.8) – (9.12) розв’язку базової однопродуктової задачі управління запасами, якщо покласти у зазначених формулах показник інтенсивності поповнення запасів нескінченно великим.

Отже, обчислюючи границі при , з формул (9.8) – (9.12) знаходимо розв’язок однопродуктової задачі (10.9) управління запасами за умов їх миттєвого поповнення через певні проміжки часу:

1) оптимальна тривалість циклу:

(10.10)

2) оптимальний максимальний рівень запасів:

(10.11)

3) оптимальний максимальний рівень дефіциту:

(10.12)

4) оптимальні середні за одиницю часу загальні витрати:

(10.13)

5) оптимальний розмір однієї партії поповнення запасів впродовж одного циклу:

(10.14)

– переконайтесь, що зараз справджується рівність: .

Припустимо, наприклад, що магазин продає пральні машини, які імпортуються та завозяться окремими партіями. Попит на пральні машини складає, у середньому, 10 машин на тиждень. Якщо при зверненні чергового покупця пральна машина наявна в магазині, вона реалізується за звичайною ціною – 1750 грн. У випадку, якщо пральна машина відсутня, покупець залишає замовлення та отримує її через кілька днів. У такому разі при оплаті покупець за кожний день очікування товару отримує знижку у розмірі 1 % від вартості машини (тобто втрати магазину складають 17,5 грн. за кожний день затримки). Потрібно визначити, з якою періодичністю доцільно завозити пральні машини з-за кордону в магазин, яким повинен бути розмір однієї партії пральних машин та яким є припустимий рівень дефіциту, якщо витрати на зберігання однієї пральної машини на складі в магазині дорівнюють 0,15 гривні на добу, а витрати на оформлення поповнення запасів однією партією імпорту складають 550 гривень, незалежно від розміру партії.

Маємо:

(машин на тиждень);

, (гривень, з розрахунку на одну пральну машину за тиждень);

гривень.

Отже, користуючись підсумковими формулами (10.10) – (10.14), обчислюємо параметри оптимальної стратегії управління запасами пральних машин (результати округлюємо, враховуємо умови цілочисловості):

· оптимальна періодичність поповнення запасів:

(тижнів);

· оптимальний розмір однієї партії поповнення запасів:

(пральних машин);

· оптимальний максимальний рівень запасів:

(машин);

· оптимальний максимальний рівень дефіциту:

(машина).

За такої стратегії загальні середньотижневі витрати в системі управління запасами пральних машин магазину будуть мінімальними та дорівнюватимуть:

(гривень).

Бачимо, що дефіцит пральних машин в магазині практично відсутній. За наведених умов, можливо, магазину доцільно відмовитися від створення дефіциту взагалі. Але відмова від дефіциту супроводжуватиметься збільшенням оптимальних загальних середньотижневих витрат до величини 103.49 грн., що можна перевірити за допомогою методів, викладених у наступному підрозділі.

10.3. Оптимальне управління запасами за умов, що дефіцит
заборонено, а поповнення запасів здійснюється миттєво
(класична задача управління запасами)

Припустимо, що в аптеці щоденний попит на певні ліки складає одиниць. Щодобові витрати на зберігання одиниці цієї продукції грн. Запас ліків в аптеці поповнюється партіями. Витрати на оформлення поставки однієї партії ліків в аптеку грн. не залежать від розміру партії. Потрібно визначити: з якою періодичністю слід поповнювати запас ліків в аптеці та яким має біти розмір однієї партії поставок , щоб не допускати дефіциту ліків, а витрати на функціонування відповідної системи управління запасами були мінімальними?

Спочатку побудуємо графік зміни обсягу запасів за умов, що дефіцит заборонено, а поповнення запасів здійснюється миттєво. Припустимо, що у момент часу система починає функціонувати з максимальним запасом у кількості одиниць продукції. Тоді із швидкістю запаси почнуть скорочуватися та в момент часу будуть вичерпані повністю. Саме в цей момент часу слід миттєво поповнити запаси партією у кількості одиниць продукції. Тобто запас досягне початкового максимального рівня (в задачі з миттєвими поставками та забороною дефіциту справджується рівність: ) і цикл зміни обсягу запасів тривалістю відновиться (зараз ) – рис. 10.3.

x

H=q

t

T=t1

Рис. 10.3. Графік зміни обсягу запасів у випадку, коли дефіцит
заборонено, а поповнення запасів здійснюється миттєво

Позначимо середні за одиницю часу загальні витрати в системі управління запасами через . Тоді для визначення оптимальних значень параметрів і циклу управління запасами, тобто для відповіді на питання:

· з якою періодичністю слід поповнювати запаси?

та

· яким має бути розмір однієї партії поповнення?

– слід знайти розв’язок такої оптимізаційної задачі:

(10.15)

Складемо функцію Лагранжа:

(10.16)

та з умов оптимальності для задачі (10.15) – перетворення на нуль усіх частинних похідних функції Лагранжа – одержимо систему рівнянь:

(10.17)

(10.18)

(10.19)

З системи рівнянь (10.17) – (10.19) послідовно знаходимо:

спочатку лагранжів множник: ,

а далі:

· оптимальну тривалість циклу управління запасами:

(10.20)

· оптимальний розмір однієї партії поповнення запасів:

(10.21)

Відповідно, мінімальні середні за одиницю часу загальні витрати в системі управління запасами дорівнюватимуть:

(10.22)

Існують і інші способи одержати формули (10.20) – (10.22).

Це, насамперед, – з формул (9.8) – (9.12) розв’язку базової задачі управління запасами, якщо покласти у зазначених формулах показник питомих втрат внаслідок дефіциту за одиницю часу та показник інтенсивності поповнення запасів нескінченно великими. Інший спосіб полягає у переході до границь при у формулах (10.4) – (10.8). Ще один спосіб – перейти до границь при у формулах (10.10) – (10.14). Тотожність усіх результатів пропонуємо перевірити самостійно.

Керуючись отриманими формулами, знайдемо показники оптимального циклу управління запасами ліків в аптеці:

· періодичність поповнення запасів: (днів);

· розмір однієї партії поповнення запасів:

(одиниць ліків);

· середньодобові загальні витрати в системі управління запасами ліків (мінімально можливі): (гривень).

Розглянуту однопродуктову задачу управління запасами за умов, що дефіцит заборонено, а поповнення запасів здійснюється миттєво, ми називаємо класичною. Саме з цієї простої задачі свого часу розпочалося становлення теорії оптимального управління запасами.

10.4. Завдання для самостійного опрацювання: Оптимальне управління "запасами" за відсутності умов для зберігання виготовленої продукції

Розглянемо таку ситуацію. Відомо, що продукцію, інтенсивність виробництва якої дорівнює одиниць за одиницю часу, підприємство–виробник зберігати можливості не має. Готова продукція одразу ж надсилається замовникам. Інтенсивність попиту дорівнює одиниць продукції за одиницю часу і є меншою від інтенсивності виробництва: . Тому виробничий процес потрібно час від часу призупиняти, а через деякий час після зупинки відновлювати виробництво, щоб ліквідувати накопичений дефіцит та задовольнити поточний попит. Втрати виробника через затримку із постачанням продукції споживачам складають грошових одиниць з розрахунку на одиницю продукції за кожну одиницю часу затримки, а витрати на відновлення виробництва продукції – грошових одиниць.