Припустимо далі, що є інформація про можливу тривалість виконання кожного з замовлень кожним з потенційних перевізників, тобто що відома матриця тривалостей

Якщо всі перевезення розпочинаються одночасно, може виникнути потреба у визначенні моменту часу, коли ці перевезення буде виконано. Цей момент часу визначається подією закінчення найтривалішого з перевезень. Отже, якщо маємо допустимий план призначень , тривалість його виконання обчислюватиметься за формулою:

(4.7)

/Нагадаємо, що Excel у переліку вбудованих стандартних статистичних функцій має спеціальну функцію “МАКС” для обчислення максимуму з елементів масиву./

Критерій мінімізації тривалості виконання усіх перевезень теж може зустрічатися у задачах оптимізації логістичних рішень.

4.2. Оптимізація плану розподілу замовлень на перевезення
за критерієм мінімізації загальних витрат

Математичний аналіз задачі. Економіко–математична модель задачі про оптимізацію плану розподілу замовлень на перевезення між перевізниками за критерієм мінімізації загальних витрат, з урахуванням формул (4.3) – (4.6), має вигляд:

(4.8)

Цільова функція моделі відбиває вимогу знаходження плану розподілу замовлень між перевізниками із якнайменшою загальною вартістю. Перша група основних обмежень відтворює вимоги про те, щоб кожне з замовлень було доручено точно одному з виконавців. Друга група основних обмежень – вимоги про те, щоб кожному з виконавців було доручено виконання точно одного замовлення. Нарешті, допоміжними обмеженнями відбито особливість основних змінних задачі – те, що вони є логічними і можуть набувати лише значень із множини .

Математично наведена модель являє собою задачу цілочислового лінійного програмування транспортного типу з логічними змінними. Її схожість до класичної закритої транспортної задачі наводить на думку про можливість застосування для пошуку розв’язку методу потенціалів.

Проаналізуємо, чим саме відрізняється математична модель задачі про призначення від математичної моделі закритої транспортної задачі.

Помічаємо, що відмінностей є дві. По-перше, наявні обмеження зверху на значення кожної із основних змінних: .

Якщо врахувати вимоги невід’ємності цих змінних, а також наявні основні обмеження стосовно сум певних груп таких змінних (кожна з сум має дорівнювати 1), доходимо висновку, що зазначені обмеження зверху на значення кожної із основних змінних у задачі про призначення є надлишковими, тобто їх можна відкинути.

Друга відмінність полягає у тому, що на кожну із змінних накладено вимогу цілочисловості. У загальному випадку такі обмеження відкидати не можна, оскільки без них план може містити нецілочислові компоненти. Але в нашому випадку ситуація особлива. Річ у тім, що в системі основних обмежень задачі про призначення (вона тотожна системі основних обмежень закритої транспортної задачі) усі вільні коефіцієнти кожного з основних обмежень – цілі числа (дорівнюють +1). Відомо, що довільний опорний план закритої транспортної задачі із цілочисловими вільними коефіцієнтами системи основних обмежень задовольняє вимогу цілочисловості. Отже, якщо задачу про призначення розглядати як транспортну та застосувати до неї метод потенціалів, тоді знайдений за цим методом оптимальний опорний план автоматично задовольнятиме вимогу цілочисловості, тобто визначатиме оптимальний план розподілу замовлень між перевізниками.

Приклад розв’язування задачі за методом потенціалів. Припустимо, що задача про призначення має розмірність та тарифи, що наведені у таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

Тарифи на виконання замовлень різними перевізниками,

грошових одиниць

Замовлення	Перевізник
П-1	П-2	П-3
З-1
З-2
З-3

Процес пошуку оптимального плану розподілу замовлень між перевізниками за методом потенціалів полягає у такому.

1-й крок. Знайдемо за методом якнайменшого тарифу план розподілу замовлень між перевізниками: