Гривень 4 страница

(9.4)

(9.5)

(9.6)

де параметри , , , та вважаються відомими, а всі інші підлягають визначенню. Усі змінні задачі, за економічним змістом, повинні бути невід’ємними.

Задача (9.3) – (9.6) має назву базової однопродуктової задачі управління запасами.

9.2. Аналітичне розв’язування базової однопродуктової задачі

Якщо з рівнянь (9.4) – (9.6) змінні , , , та виразити через змінні і , нелінійна багатовимірна оптимізаційна задача з обмеженнями (9.3) – (9.6) буде зведеною до двовимірної нелінійної оптимізаційної задачі без обмежень:

(9.7)

З умови оптимальності задачі (9.7) – рівність нулю частинних похідних функції за змінними і – одержимо формули обчислення оптимальних параметрів циклу управління запасами для базової економіко–математичної моделі (9.3) – (9.6). Зокрема:

1) оптимальна тривалість циклу:

(9.8)

2) оптимальний максимальний рівень запасів:

(9.9)

3) оптимальний максимальний рівень дефіциту:

(9.10)

4) оптимальні середні за одиницю часу загальні витрати:

(9.11)

5) оптимальний розмір однієї партії поповнення запасів впродовж одного циклу:

(9.12)

Бачимо, що у разі виконання нерівності (9.1) усі вирази (9.8) – (9.12) є визначеними, причому всі показники задовольнятимуть умову невід’ємності.

9.3. Приклад: оптимальне управління виробництвом
та зберіганням виготовленої продукції

Постановка задачі. Фірмовою продукцією меблевої фабрики є гарнітур “Соната”, який вона може виготовляти у кількості 300 одиниць на місяць. Вартість одного гарнітура – 5 тисяч гривень. Щомісячний попит на цю продукцію дорівнює 200 одиниць і вважається рівномірним. Якщо запит на поставку гарнітура фабрика виконає із запізненням, вона несе збитки у розмірі 0,1 % вартості за кожний день затримки. Фабрика може зберігати готову продукцію. Витрати на зберігання складають приблизно 2 % середньої вартості запасів на місяць. У вільний від виготовлення гарнітурів час фабрика виробляє меблеві дрібниці. Витрати на налагодження поточної лінії для запуску виробництва партії гарнітурів – 10 тисяч гривень.

З якою періодичністю доцільно організовувати цикл для виробництва гарнітурів та яким має бути розмір однієї партії гарнітурів? Якою має бути місткість складу? Чи є сенс допускати дефіцит, яким може бути максимальний економічно виправданий розмір дефіциту?

Розв’язування задачі на комп’ютері з використанням стандартних функцій Excel. Оскільки постановка задачі цілком відповідає базовій однопродуктовій економіко–математичній моделі управління запасами (9.3) – (9.6), для відповіді на поставлені у прикладі запитання можна скористатися формулами (9.8) – (9.12). Потрібно лише визначитися в одиницях виміру та зафіксувати значення вихідних параметрів.

За одиницю виміру часу оберемо 1 місяць, за одиницю продукції – 1 меблевий гарнітур "Соната", за одиницю виміру витрат – 1 тисячу гривень. У наведених одиницях виміру вихідні показники задачі будуть наступними:

1) інтенсивність попиту: (гарнітурів на місяць);

2) інтенсивність виробництва гарнітурів з метою поповнення запасів чи ліквідації дефіциту: (гарнітурів на місяць);

3) витрати на зберігання одного гарнітура впродовж місяця:

(тис. грн.);

4) втрати внаслідок дефіциту – через відсутність потрібного гарнітура впродовж одного місяця (30 днів):

(тис. грн.);

5) витрати, пов’язані з налагодженням поточної лінії та відновленням виробництва гарнітурів: (тис. грн.).

Відкриємо робочу книгу Excel, якій дамо назву "Mebli.xls", та на першому аркуші у клітинках A1:F1 (об’єднуємо) впишемо назву задачі: "Оптимальне управління виробництвом та зберіганням меблів", у клітинках A2:F2 (об’єднуємо) уточнюємо, що йдеться про базову однопродуктову модель управління запасами, а в клітинках A3:F3 (теж об’єднуємо) зазначаємо, що йдеться про використання підсумкових розрахункових формул.

Блок клітинок A5:E10 відводимо для вихідних даних, а блок клітинок A12:E17, який за формою збігається з блоком A5:E10 – для підсумкових даних про оптимальний цикл управління запасами:

· тривалість циклу,

· максимальний рівень запасів,

· максимальний рівень дефіциту,

· загальні середньомісячні витрати,

· розмір однієї партії гарнітурів.

Для цього у клітинки E13:E17 заносимо потрібні формули:

· у клітинку E13 (відповідає формулі (9.8):

=КОРЕНЬ(2*E7*(E8+E9)*E10/E6/(E7-E6)/E8/E9)

· у клітинку E14 (відповідає формулі (9.9):

=КОРЕНЬ(2*E6*(E7-E6)*E9*E10/E7/E8/(E8+E9))

· у клітинку E15 (згідно формули (9.10):

=КОРЕНЬ(2*E6*(E7-E6)*E8*E10/E7/E9/(E8+E9))

· у клітинку E16 (відповідає формулі (9.11):

=КОРЕНЬ(2*E6*(E7-E6)*E8*E9*E10/E7/(E8+E9))

· у клітинку E17 (згідно формули (9.12):

=КОРЕНЬ(2*E6*E7*(E8+E9)*E10/(E7-E6)/E8/E9)

Автоматично після введення кожної формули отримуємо відповідний результат. Підсумки усіх розрахунків показано на рисунку 9.2.

Розв’язування задачі з використанням інструменту "Поиск решения". Далі спробуємо розв’язати задачу про оптимальне управління виробництвом та зберіганням меблевих гарнітурів як нелінійну багатовимірну оптимізаційну задачу (9.3) – (9.6) з використанням інструменту пошуку рішення Excel. Для цього працюватимемо на другому аркуші нашої робочої книги. В клітинках A1:F1 знову вписуємо назву задачі: "Оптимальне управління виробництвом та зберіганням меблів", а в клітинках A2:F2 – що йдеться про базову однопродуктову модель. В клітинках A3:F3 уточнюємо, що будемо використовувати інструмент пошуку розв’язку.

Блок клітинок A5:E10 відводимо для вихідних даних задачі. Цей блок є точною копією аналогічного блоку з попереднього аркушу (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Робочий аркуш Excel з вихідними даними задачі про оптимальне управління виробництвом та зберіганням меблевих гарнітурів "Соната"
та результатами розрахунків за підсумковими формулами

В блоці A12:E22 (дивись рис. 9.3) побудуємо таблицю для підсумкових даних про всі параметри оптимального циклу управління запасами. А саме: тривалість циклу, з розбивкою на періоди накопичення та використання запасів і періоди накопичення та ліквідації дефіциту (відповідно, змінні , , , і ), максимальний рівень запасів (), максимальний рівень дефіциту (), загальні середньомісячні витрати ( – цільова змінна) та розмір однієї партії гарнітурів (). Для цього, крім текстових записів, заносимо формули:

· у клітинку E13, відповідно до рівняння (9.6):

=СУММ(E15:E18)

· у клітинку E19, відповідно до першого з двох рівнянь (9.4):

=(E7-E6)*E15

· у клітинку E20, відповідно до першого з двох рівнянь (9.5):

=E6*E17

· у клітинку E21, відповідно до формули (9.3):

=(0,5*E8*E19*(E15+E16)+0,5*E9*E20*(E17+E18)+E10)/E13

· у клітинку E22, відповідно до першої розрахункової формули (9.12):

=E6*E13

Помічаємо, що після запису формул у зазначених клітинках з’явилися нулі, крім клітинки E21, де результатом є повідомлення: "#ДЕЛ/0!". Причиною цього є відсутність значень в клітинках E15:E18, призначених для змінних , , і , через що Excel вважає, що значення цих змінних дорівнюють нулю. Отже, значення змінної в клітинці E13 теж дорівнює нулю, через що вираз в клітинці E21 є невизначеним.

Уведемо у клітинки E15:E18 довільні додатні початкові значення змінних , , і . Покладемо, наприклад, = = = =7.

Тепер звернемося до інструменту пошуку рішення. У діалоговому вікні “ Поиска решения ” в полі “ Установить целевую ячейку ” вкажемо на адресу цільової клітинки ($E$21) та ввімкнемо перемикач вибору оптимізаційного спрямування цільової функції у положення “ минимальному значению ”.

У полі “ Изменяя ячейки ” вкажемо на адреси клітинок з незалежними змінними , , і : $E$15:$E$18

Далі введемо обмеження задачі /йдеться про другі рівняння у записах (9.4) та (9.5)/:

$E$19	=	$E$6*$E$16
$E$20	=	($E$7–$E$6)* $E$18

Усі обмеження задачі враховано.

Звернемося тепер до встановлення потрібних параметрів пошуку рішення:

Параметр	Що робимо	Кінцеве значення
Максимальное время	не міняємо	100 секунд
Предельное число итераций	збільшуємо
Относительная погрешность	зменшуємо	0,00001
Допустимое отклонение	зменшуємо	1%
Сходимость	зменшуємо	0,000001
Неотрицательные значения	ставимо прапорець
Оценки	зазначаємо	квадратичная
Разности	центральные
Метод поиска	Ньютона

Повертаємося до діалогового вікна пошуку рішення та натискаємо кнопку “ Выполнить ”.

Після завершення пошуку рішення у вікні “ Результаты поиска решения ” увімкнемо перемикач “ Сохранить найденное решение ” та натиснемо ОК.

Рис. 9.3. Робочий аркуш з вихідними даними задачі оптимального управління виробництвом і зберіганням меблевих гарнітурів "Соната" та результатами розрахунків з використанням інструменту " Поиск решения " Excel

Результати розрахунків наведено на рисунку 9.3. Нелінійна оптимізація призводить лише до наближеного розв’язку задачі. Тому, для порівняння з точним розв’язком, у клітинки F13, F19:F22 ми переписали результати, отримані попереднім способом. Спостерігаємо досить високий збіг кінцевих результатів. Водночас радимо при розв’язуванні нелінійних задач оптимізації робити на один розрахунок, а серію розрахунків, щоб бути впевненим у попаданні в окіл точки оптимуму. Скажімо, наші перші результати (з дещо слабкішими значеннями параметрів пошуку рішення) призводили до стратегії з загальними середньомісячними витратами близько 10 тисяч гривень, що перевищує оптимальний рівень мало не на 10 %.

Перевага налаштованого інструменту пошуку рішення полягає у тому, що він дозволяє швидко отримати розв’язок задачі у випадку, коли потрібно врахувати додаткові умови (наприклад, вимогу, щоб розмір однієї партії гарнітурів не був меншим від 500 одиниць або, скажімо, щоб максимальний розмір дефіциту не перевищував 40 одиниць продукції). Це свідчить про доцільність та можливість використовувати інструмент " Поиск решения " для всебічного аналізу розв’язку оптимізаційної задачі.

Відповідь. Виходячи з практичних міркувань, за наведених умов економічно виправдано обрати наступну стратегію управління виробництвом та запасами виготовленої продукції:

1) розмір однієї партії гарнітурів визначити у кількості 450 одиниць;

2) припиняти виготовлення гарнітурів та переходити до виготовлення меблевих дрібниць в момент, коли рівень запасів гарнітурів дорівнюватиме 90 одиниць;

3) допускати дефіцит готової продукції та відновлювати виробництво гарнітурів у момент, коли дефіцит становитиме 60 одиниць.

Зазначена стратегія забезпечуватиме мінімум загальних середньомісячних витрат, пов’язаних зі зберіганням запасів, відновленням виробництва та втратами внаслідок дефіциту, у розмірі до 8.945 тис. грн.

9.4. Стійкість розв’язку задачі оптимального управління запасами
щодо незначної варіації оптимальних значень керованих параметрів

Властивість задачі оптимального управління запасами полягає у тому, що її розв’язок є досить стійким щодо незначної варіації оптимальних значень керованих параметрів: тривалості циклу зміни обсягу запасів , розміру однієї партії поповнення запасів впродовж одного циклу тощо.

З’ясуємо, наприклад, чутливість оптимальних середніх за одиницю часу загальних витрат в системі управління запасами від розміру однієї партії поповнення запасів впродовж одного циклу. Для цього скористаємося інструментом " Поиск решения ", налаштованим на розв’язування задачі оптимального управління виробництвом і зберіганням меблевих гарнітурів "Соната" (дивись підрозділ 9.3 та рисунок 9.3). Бачимо, що розміру однієї партії гарнітурів відповідають оптимальні загальні середньомісячні витрати тисяч гривень.

Спробуємо тепер знайти залежність оптимальних загальних середньомісячних витрат від розміру однієї партії поповнення запасів в межах варіації цього керованого параметру від 200 до 700 одиниць продукції (гарнітурів). Точніше, побудуємо кусково–лінійну апроксимацію цієї залежності. Для цього розіб’ємо інтервал на відрізки довжиною 50 одиниць продукції та зафіксуємо значення межових точок (таких точок 11):

200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 650, 700.

Далі для кожного наведеного значення розміру однієї партії поповнення запасів , , потрібно розв’язати оптимізаційну задачу управління запасами (9.3) – (9.6) з додатковою умовою:

(9.13)

Перше з двох рівнянь (9.13) ми враховували, коли вносили формулу у клітинку E22 Листа 2 книги "Mebli.xls", тому в кожній -й задачі лишається взяти до уваги лише друге рівняння умови (9.13).

Розпочнемо з першої задачі (, ). Активізуємо в книзі "Mebli.xls" на її другому аркуші інструмент пошуку рішення, який було використано раніше для розв’язування базової задачі (рис. 9.4), та командою " Добавить " додамо обмеження: $E$22=200, після чого натиснемо на кнопку “ Выполнить ”.

Рис. 9.4. Діалогове вікно інструменту пошуку рішення,
яке було налаштоване для розв’язування базової задачі

Зафіксуємо результат, який буде отримано у клітинці E21: (зараз і надалі обмежимося точністю подання обсягів оптимальних загальних середніх витрат із трьома знаками після десяткової коми).

Перейдемо до другої задачі (, ). Знову активізуємо інструмент пошуку рішення, виділимо в його діалоговому вікні щойно введене обмеження: $E$22=200, та за допомогою кнопки " Изменить " поміняємо на обмеження: $E$22=250. Натискаємо кнопку “ Выполнить ” та зафіксуємо з клітинки E21 новий результат: .

В аналогічний спосіб, щоразу змінюючи додаткове обмеження, розв’язуємо й решту дев’ять задач, фіксуючи відповідні результати у підсумковій таблиці 9.1.

Таблиця 9.1

Залежність оптимальних загальних середньомісячних витрат
від розміру однієї партії поповнення запасів

	12,000	10,500	9,667	9,214	9,000	8,944	9,000	9,136	9,333	9,577	9,857

Графік залежності оптимальних загальних середньомісячних витрат від розміру однієї партії поповнення запасів , побудований майстром діаграм Excel за даними таблиці 9.1, наведено на рис. 9.5.

Рис. 9.5. Кусково–лінійна апроксимація залежності оптимальних загальних середньомісячних витрат в системі управління запасами
від розміру однієї партії поповнення запасів

Помічаємо, що досліджувана залежність відтворюється опуклою функцією, причому незначні відхилення розміру однієї партії поповнення запасів від оптимального значення цього параметру супроводжуються незначним збільшенням загальних середньомісячних витрат: при загальні середньомісячні витрати в системі управління запасами не перевищуватимуть 9 тисяч гривень, тобто відхилення від оптимального рівня витрат не перевищуватиме 0,63 %. Водночас при подальшому зростанні відхилення розміру однієї партії поповнення запасів від оптимального розміру оптимальні загальні середньомісячні витрати в системі управління запасами помітно збільшуватимуться.

Наведена властивість розв’язку задачі оптимального управління запасами підкреслює, з одного боку, доцільність та економічну ефективність пошуку оптимальних рішень з використанням оптимізаційних економіко–математичних методів і моделей та обчислювальної техніки. З іншого боку, ця властивість свідчить про можливість округлювання або незначного відхилення від теоретичних оптимальних результатів, якщо це є виправданим з практичних міркувань.

9.5. Завдання для самостійного опрацювання

1. Записати системою рівнянь умови оптимальності задачі (9.7) та обґрунтувати формули (9.8) – (9.12) обчислення оптимальних параметрів циклу управління запасами для базової однопродуктової задачі.

2. Як зміниться оптимальна стратегія управління виробництвом і зберіганням меблевих гарнітурів (приклад у підрозділі 9.3), якщо питомі втрати внаслідок дефіциту зростуть удвічі, витрати на відновлення виробництва гарнітурів збільшаться на 50 %, а умови зберігання готової продукції не дозволятимуть складувати одночасно понад 50 виготовлених гарнітурів?

3. З’ясувати чутливість оптимальних середніх за одиницю часу загальних витрат в системі управління запасами від періодичності відновлення виробництва меблевих гарнітурів, тобто тривалості циклу .

РОЗДІЛ 10. ОСНОВНІ МОДИФІКАЦІЇ БАЗОВОЇ
ОДНОПРОДУКТОВОЇ ЗАДАЧІ УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ

Опрацьовані у попередньому розділі методи розв’язування базової однопродуктової задачі управління запасами можуть легко поширюватися на певні інші випадки. Це, зокрема, випадки, коли поповнення запасів здійснюється миттєво – окремими партіями через певні проміжки часу; коли заборонено допускати дефіцит продукції; і навіть коли відсутні можливості зберігати виготовлену продукції, а управління полягає в оптимальному накопиченні та подальшому скороченні дефіциту за рахунок своєчасного відновлення випуску продукції.

Досліджуватимемо чотири з можливих модифікацій базової однопродуктової задачі управління запасами – три з них проаналізуємо спільно, а четверту пропонуємо Вам опрацювати самостійно.

10.1. Оптимальне управління запасами за умов заборони дефіциту продукції

10.2. Оптимальне управління запасами за умов, що поповнення запасів здійснюється миттєво

10.3. Оптимальне управління запасами за умов, що дефіцит заборонено, а поповнення запасів здійснюється миттєво (класична задача управління запасами)

10.4. Завдання для самостійного опрацювання:
Оптимальне управління "запасами" за відсутності умов для зберігання виготовленої продукції

10.1. Оптимальне управління запасами
за умов заборони дефіциту продукції

Припустимо, як і в базовій однопродуктовій задачі, що інтенсивність попиту на певну продукцію є сталою та дорівнює одиниць продукції за одиницю часу. Запаси продукції можуть поповнюватися неперервно з інтенсивністю одиниць продукції за одиницю часу, причому . Дефіцит продукції зараз забороняється, тобто у будь який момент часу попит має бути забезпечений запасами.

Вважатимемо, що система розпочинає функціонування у момент часу з максимальним запасом у розмірі одиниць продукції. Тоді зі швидкістю запаси почнуть скорочуватися та в момент часу будуть вичерпані повністю. Щоб уникнути дефіциту, саме в цей момент часу слід почати поповнювати запаси. У такому випадку обсяг запасів почне з швидкістю збільшуватися та впродовж часу досягне первісного максимального рівня . Далі, з моменту часу , цикл зміни обсягу запасів відновлюється (рис. 10.1).