i , j ,k так, что бы вектор i совпал с ортом e оси . 4 страница

2) Строим плоскость , проходящую через прямую l₁, параллельно вектору l (базовая задача 2.9.4).

3) Строим плоскость , проходящую через прямую l₂, параллельно вектору l (базовая задача 2.9.4).

Ответ: .

Глава 3. Кривые второго порядка

3.1. Канонические уравнения кривых второго порядка

3.1.1. Эллипс

Каноническое уравнение.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек F₁, F₂ (фокусов) постоянна.

Для удобства предположим, что фокусы имеют координаты F₁(-с,0), F₂(0,с) (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. Эллипс

Выведем уравнение эллипса.

возведем в квадрат далее

Обозначим Тогда полученное уравнение запишется в виде:

(1)

При возведении в квадрат новых решений не появилось. Действительно,

Величина называется экцентриситетом (мера вытянутости) эллипса.

Таким образом, Аналогично,

Откуда

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса, величины a,b-полуоси эллипса.

3.1.2. Гипербола

Каноническое уравнение.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек F₁, F₂ (фокусов) постоянна.

Для удобства предположим, что фокусы имеют координаты F₁(-с,0), F₂(0,с) (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2. Фокусы

Рис. 3.3. Геометрическое построение

Выведем уравнение эллипса.

возведем в квадрат далее

Обозначим Тогда полученное уравнение запишется в виде:

(2)

При возведении в квадрат новых решений не появилось. Действительно,

Величина называется экцентриситетом гиперболы. Таким образом,

Аналогично,

Откуда

Уравнение (2) называется каноническим уравнением гиперболы.

3.1.3. Парабола

Каноническое уравнение.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной прямой (директрисы) и до заданной точки (фокуса) равны (см. рис. 3.4.).

Рис. 3.4. Парабола

Для удобства предположим, что фокус расположен на оси Ox и имеет координаты (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5. Фокус параболы

Выведем уравнение параболы.

откуда Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы.

3.1.4. Некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы

Эллипс.

А) Эллипс

является симметричной относительно начала координат кривой, расположенной в прямоугольние со сторонами 2a, 2b см. рис. 3.6.

Рис.3.6. Основной прямоугольник

Уравнение эллипса в параметрическом виде имеет вид:

Директрисами эллипса называются прямые (см. рис. 3.7.).

Рис.3.7. Директрисы эллипса

Для директрис справедливы равенства Действительно, ранее отмечалось, что Расстояние от текущей точки M(x,y) эллипса до прямой (директрисы) равно Откуда следует, что Аналогично для левой директрисы .

b) Гипербола

Гипербола

является симметричной относительно начала координат кривой, имеющей асимптотами диагонали прямоугольника со сторонами 2a, 2b см. рис. 3.8.

Рис.3.8. Гипербола

Директрисами гиперболы называются прямые

Так же, как и для эллипса, для директрис гиперболы справедливы равенства Действительно, ранее отмечалось, что Расстояние от текущей точки M(x,y) гиперболы до прямой (директрисы) равно Откуда следует, что Аналогично для левой директрисы .

Slide_3_8 «Семейства однофокусных эллипсов и гипербол»

3.2. Общее уравнение кривой второго порядка

3.2.1. Преобразование координат при переходе к другой системе координат

Рассмотрим алгебраическую линию второго порядка

. (1)

Здесь предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при старших степенях не равен нулю.

А) Перенос

Рассмотрим новую систему координат с началом координат и без поворота осей (см. рис. 3.9)

Рис.3.9. Сдвиг

Связь между координатами точки M в старой и новой системах координат будет выражена соотношениями

.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение кривой, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, получим

(1)

Можно отметить, что при переносе группа старших коэффициентов не изменяется. Отметим, что

Б) Поворот

При повороте системы координат (см. рис. 3.10)

Рис.3.10. Поворот

координаты преобразуются по закону

Подставляя эти выражения в левую часть общего уравнения кривой, получим

Таким образом, для коэффициентов уравнения в новых координатах будут выполнены равенства

(2)

При повороте системы координат группа старших коэффицентов в новой системе координат определяется группой старших коэффициентов в старой системе координат и углом поворота системы координат.

Можно проверить, что

(3)

3.2.2. Инварианты кривой второго порядка

Определение. Инвариантом кривой называется функция, зависящая от коэффициентов уравнения кривой и не изменяющаяся при переходе к новой системе координат (поворот и сдвиг)

Теорема. Величины

где , являются инвариантами кривой второго порядка.

Доказательство. Для переноса инвариантность очевидна. Для

Умножим первую строку на , а вторую на , сложим и вычтем из третьей строки.

Теперь умножаем первый столбец на , а второй на , сложим и вычтем из третьего столбца.

Инвариантность для сдвига доказана.

Для поворота из (2) очевидно следует Равенство отмечалось в (3). Непосредственой проверкой можно доказать и инвариантность для поворота системы координат.

3.2.3. Центр линии второго порядка

Предположима, что . Тогда переносом системы координат в точку , являющуюся решением системы

(4)

можно избавиться от коэффициентов . В такой системе координат уравнение кривой принимает вид

.

Если точка лежит на кривой, то и точка также принадлежит кривой. Это означает, что при неравенстве нулю второго инварианта кривая симметрична относительно начала координат. Такая кривая называется. Центр кривой находися из уравнений (4).

Далее, в этом же случае,

(5)

3.3.Упрощение уравнения линии второго порядка (приведение к каноническому виду)

3.3.1.Классификация кривой 2-го порядка

Как мы видели при повороте системы координат

Если коэффициент , то полагая , мы избавимся от коэффициента в новой системе координат

.

Далее сделаем перенос системы координат

.

В новой системе координат получим

.

В силу (5) и уравнение принимает вид

.

3.3.2.Эллиптический тип

.

При будет:

- мнимый эллипс,

- вырожденный эллипс,

- эллипс.

Аналогично, при будет:

- эллипс,

- вырожденный эллипс,

- мнимый эллипс.

3.3.3.Гиперболический тип

.

При пара прямых.

- гипербола.

3.3.4.Параболический тип

. Отсюда следует, что

Для определенности считаем, что Тогда

Выделяем полные квадраты

Обозначим Получим уравнение параболы:

Тогда

Если , то сделаем перенос системы координат

Уравнение кривой принимает вид

Если , то и уравнение имеет вид В трех случаях

получаем соотвественно: пара слипшихся прямых, пустое множество (пара мнимых прямых), пара параллельных прямых.

Глава 4. Поверхности второго порядка

4.1. Понятие поверхности 2-го порядка

4.1.1. Определения. Некоторые простейшие типы поверхностей

Определение. Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек , удовлетворяющих уравнению

(1)

В этом уравнении не все старшие коэффициенты равны нулю.

a) Распадающиеся поверхности

Поверхность, уравнение которой можно преобразовать к виду

представляет собой распадающуюся на две плоскости

поверхность.

b) Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью 2-го порядка называется поверхность второго порядка, уравнение которой в некоторой системе координат не содержит явно одно из переменных.

Например, уравнение

,

где Ф – многочлен второй степени предсталяет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси отсутствующего переменного z, пересекающей плоскость по направляющей кривой второго порядка в плоскости (см. рис 4.1, 4.2).

Рис.4.1. Цилиндрическая поверхность (параболический цилиндр)

Рис.4.2. Цилиндрическая поверхность (эллиптический цилиндр)

Slide_4_2 «Цилиндрическая поверхность»

c) Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, уравнение которой в некоторой системе координат имеет вид:

.

В первом случае, для построения графика поверхности можно поступить следующим образом: в плоскости строится график функции или , полученной из уравнения . Исходная поверхность получается вращением этой кривой вокруг оси (см. рис. 4.3).

Рис.4.3. Поверхность вращения

Slide_4_3 «Поверхность вращения»

d) Конические поверхности

Конической поверхностью второй степени называется поверхность, уравнение которой в некоторой системе координат имеет вид , где -однонодный многочлен второй степени.

Однородной функцией называется функция, удовлетворяющаю соотношению

,(степень однородности n),

для любых допустимых .

Для многочлена второй степени степень однородности может быть равна только двум.

Пример 1. -степень однородности равна двум.

Пример 2. -степень однородности равна двум.

Пример 3. -не является однородной функцией.

Из определения однородной функции следует, что для такой поверхности S, если точка , то и точка . Геометрически это означает, что наряду с точкой поверхности обязана принадлежать и вся прямая , см. рис. 4.4.

Рис.4.4. Коническая поверхность

Slide_4_4 «Коническая поверхность»

4.2. Каноническое уравнение поверхности 2-го порядка

Можно показать, что уравнение любой поверхности второго порядка поворотами и сдвигами системы координат можно привести к виду

(1)

или

(2)

4.2.1. Исследавание центральных поверхностей 2-го порядка

1) Расстотрим случай (1)

,

где и имеют одинаковые знаки.

1.1) . Вырожденный эллипсоид (единственная точка-начало координат).

1.2) имеет тот же знак, что и . Мнимый эллипсоид (пустое множество).

1.3) имеет противоположный знак тому, который имеют . В этом случае поверхность представляет собой эллипсоид, см. рис. 4.5.

Рис.4.5. Эллипсоид

Slide_4_5 «Эллипсоид»

Slide_4_5_1 «Эллипсоид (горизонтальные сечения)»

После деления уравнения на соответствующую величину, уравнение может быть приведено к виду

. (3)

Такой эллипсоид получается из единичной окружности «сжатием» по осям в раз, соответственно. То же самое можно выразить другими словами. При замене переменных: (растяжения по осям) в новых координатах получим уравнение единичной сферы . Для исследования поверхности (3) можно рассматривать сечения поверхности плоскостями . В этих сечениях получаются кривые второго порядка, эллиптического типа:

(4)

В случае получаем мнимый эллипс. При - вырожденный эллипс. Если , то в сечении получается эллипс с полуосями: по оси и полуосью по оси .

2) Рассмотрим случай (1)

,

где и имеют разные знаки. Это означает, что два из этих коэффициентов имеют один знак, а оставшийся один коэффициент имеет противоположный знак. Для определенности будем предполагать, что .

2.1) . После небольшого преобразования уравнение приводится к виду

, (5)

задающее коническую поверхность. После соответствующего изменения масштаба по осям получим уравнение прямого, кругового конуса , см. рис. 4.6.