i , j ,k так, что бы вектор i совпал с ортом e оси . 1 страница

9 ноября 1923 г. на четвертом году своего существования германская национал-социалистическая рабочая партия была запрещена и распущена во всей Германии. Ныне в ноябре 1926 г. партия наша опять существует свободно и стала сильной, как никогда до сих пор.

Движению нашему не смогли повредить никакие преследования его вождей, никакая клевета, никакая напраслина. Из всех преследований оно выходило все более и более сильным, потому что идеи наши верны, цели наши чисты и готовность наших сторонников к самопожертвованию - вне всякого сомнения.

Если в атмосфере нынешней парламентской коррупции мы сумеем все больше углублять нашу борьбу, если мы сумеем стать олицетворением идеи расы и идеи личности, то мы с математической точностью неизбежно придем к победе. И если вся Германия сорганизуется на этих же началах и усвоит себе те же самые принципы, она неизбежно завоюет себе достойное положение на земле.

То государство, которое в эпоху отравления рас посвятит себя делу совершенствования лучших расовых элементов на земле, раньше или позже неизбежно овладеет всем миром.

Пусть не забывают этого сторонники нашего движения никогда. Перед лицом этой великой цели никакие жертвы не покажутся слишком большими.

i, j,k так, что бы вектор i совпал с ортом e оси.

a =a ₁ i + a ₂ j+ a ₃ k, b =b ₁ i + b ₂ j+ b ₃ k.

Тогда

a + b = (a ₁ +b ₁) i + (a ₂ +b₂) j+ (a ₃ +b₃) k.

В силу единственности разложения по базису и равенства

a + b = (Пр _i (a + b)) i + (Пр _j (a + b)) j + (Пр _k (a + b)) k

получим

Пр _i (a + b) = a ₁ +b ₁= Пр _i a+ Пр _i b.

1.4. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей

Определение. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между этими векторами. Обозначается скалярное произведение

= .

Отсюда, в частности, следует, что

, где - орт вектора .

Непосредственно из определения следуют следующие свойства скалярного произведения:

1) тогда и тольго тогда, когда .

2) .

3) .

Из свойства линейности проекции следует:

4) .

Действительно, .

Выражение скалярного произведения в ортонормированном базисе.

Рассмотрим ортонормированный базис e ₁, e ₂, e ₃ и два вектора

x =x ₁ e ₁ + x ₂ e ₂ + x ₃ e ₃, y =y ₁ e ₁ + y ₂ e _{2 +} y ₃ e ₃, или, кратко, x = (x ₁, x ₂, x ₃), y = (y ₁, y ₂, y ₃). Тогда скалярное произведение будет равно:

(x, y) = (x ₁ e ₁ + x ₂ e ₂ + x ₃ e ₃, y ₁ e ₁ + y ₂ e _{2 +} y ₃ e ₃)= x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ + x ₃ y ₃.

Для доказательства этого необходимо раскрыть скобки, используя свойства 2), 3) скалярного произведения и свойство ортонормированного базиса:

(e _k, e _m)= . Символ называется символом Кронекера.

Теорема. Для равенства двух векторов необходимо и достаточно, чтобы проекции этих векторов на любую ось совпадали.

Необходимость следует из формулы Пр _e . Достаточност следует из равенств:

a = (Пр _i a) i + (Пр _j a) j + (Пр _k a) k = (Пр _i b) i + (Пр _j b) j + (Пр _k b) k=b.

1.5. Определители второго и третьего порядка. Решение систем. Правило Крамера. Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей

1.5.1. Определители второго и третьего порядка.

Матрицей типа называется прямоугольная таблица из чисел, выстроенных в строк и столбцов.

Примеры матриц 2x3, 3x1: , .

В общем случае матрицу записывают, используя индексы для нумерации строк и столбцов:

.

Матрица

называется транспонированной матрицей для исходной матрицы.

Если , то матрица называется квадратной. Важной характеристикой квадратной матрицы является определитель. Здесь мы ограничимся рассмотрением определителей матриц втрого и третьего порядков.

Определитель матрицы 2x2: .	Определитель матрицы 3x3: .

Slide_1_15 «Определители 2-го и 3-го порядков»

Схема вычисления слагаемых для определителя третьего порядка (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Вычисление определителя

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Разложение определителя по первой сторке.

Для вычисления определителя третьего порядка удобно пользоваться следующей формулой разложения:

.

Slide_1_15_2 «Разложение определителя по строке»

Для элементов перовой строки множителями служат

,

которые называются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов первой строки.

1.5.2.Решение систем. Правило Крамера

Решение системы

с невырожденной матрицей коэффициентов является единственным и находится по правилу Крамера:

Slide_1_15_1 «Правило Крамера»

1.5.3. Векторное произведение

Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если при приведении их к общему началу поворот от a к b по кратчайшему пути проводится против часовой стрелки, если смотреть из вершины вектора c. В противном случае, тройка векторов a, b, c называется левой.

Векторным произведением векторов a, b называется вектор c, удовлетворяющий условиям:

1) с = a b , -угол между векторами a, b,

2) с a, с b,

3) тройка a, b, c - правая (см. рис. 1.16)

Рис. 1.16. Векторное произведение

Векторное произведение обозначается: с = [ a, b ].

Slide_1_16 «Векторное произведение»

Из определения следуют простейшие свойства векторного произведения:

Условие коллинеарности двух векторов a, b можно записать в виде:

[ a, b ] = 0.

Модуль векторного произведения [ a, b ] равен площади параллелограмма, построенного на векторах a, b ( см. рис. 1.17).

Рис. 1.17. Модуль векторного произведения

Slide_1_17 «Модуль векторного произведения»

Докажем, что векторное произведение обладает следующими свойствами:

1) [ a, b ] = -[ b, a ] (см. Рис. 1.18),

2) [ a, b ] = [ a, b ],

3) [ a+с, b ] = [ a, b ]+ [ с, b ] (см. Рис. 1.19).

Первое свойство следует из определения (если тройка a, b, c - правая, то правой будет тройка b, a, - c. см. рисунок).

Рис. 1.18. Антикоммутативность

Slide_1_18 «Антикоммутативность векторного произведения»

Для доказательства второго и третьего свойств, обозначим через e единичный вектор, лежащий в плоскости векторов a, b (a, b – приведены к общему началу), перпендикулярный вектору b и такой, что тройка векторов ebc правая, а через g – орт вектора с = [ a, b ], g = с с (см. рисунок).

Рис. 1.19. Линейность

Тогда

[ a, b ]= b (Пр_e a) g (3)

Действительно: [ a, b ]= [ a, b ] g = a b g = b (Пр_e a) g.

Из (3) получим свойство 2):

[ a, b ]= b Пр_e ( a) g = b (Пр_e a) g = [ a, b ].

Аналогично выводится свойство 3):

[ a+с, b ] = b Пр_e (a+с) g = b Пр_e a g+ b Пр_e с g = [ a, b ]+ [ с, b ].

Slide_1_19 «Линейность векторного произведения»

Выражение векторного произведения через координаты векторов сомножителей в декартовой системе координат.

Пусть в декартовом базисе (i, j,k) выполнены разложения векторов:

x =x ₁ i + x ₂ j + x ₃ k, y =y ₁ i + y ₂ j + y ₃ k.

Используя свойства 1)-3) векторного произведения и равенства

k = [ i, j ], j = [ k, i ], i = [ j, k ], получим:

[ x ₁ i + x ₂ j + x ₃ k, y ₁ i + y ₂ j ₊ y ₃ k ] =

= [ x ₁ i, y ₁ i + y ₂ j ₊ y ₃ k ]+ [ x ₂ j, y ₁ i + y ₂ j ₊ y ₃ k ]+ [ x ₃ k, y ₁ i + y ₂ j ₊ y ₃ k ]=

= x ₁ y ₂ k + x ₁ y ₃ (- j)+ x ₂ y ₁(- k)+ x ₂ y ₃ i + x ₃ y ₁ j + x ₃ y ₂(- i)=

=(x ₂ y ₃ – x ₃ y ₂ , x ₃ y ₁ – x ₁ y ₃, x ₁ y ₂ – x ₂ y ₁) (см. Рис. 1.20).

Рис. 1.20. Перемножение ортов осей

Для вычисления векторного произведения удобно использовать символический определитель:

[ x ₁ i + x ₂ j + x ₃ k, y ₁ i + y ₂ j ₊ y ₃ k ] = .

1.6. Преобразование координат

1.6.1.Преобразование поворота

Рассмотрим две системы декартовых координам с общим началом в точке O, полученные поворотом одна из другой на угол . Орты осей обозначим i,j встарой системе координам x,y и I,J в новой системе координат X,Y. Таким образом, для точки плоскости M будем иметь (см. рис. 1.21):

=x i + y j = X i + Y J

Рис. 1.21. Поворот осей

Slide_1_21 «Преобразование координат на плоскости (поворот)»

Выпишем соотношения между базисными векторами старой и новой координатных систем.

I =(I, i) i +(I, j) j = i + j, где (I, i)= , (I, j)= . Далее J = [[ I, j ], I ] = [[ I, j ], i + j ]= [[ I, j ], i ] + [[ I, j ], j ]= j + (- i). Таким образом, J = - i + j.

Обозначим, для краткости, a = , тогда X=( a, I )=( a, i + j )=

x +y . Аналогично, Y=(a, J)=(a, i + j)=

= - x +y . Получены:

формулы преобразования координат при повороте осей на угол :

или

Пример. В уравнении второго порядка с помощью поворота системы координат избавиться от смешанного произведения xy.

Коэффициент при приравняем нулю: или .

Равенство можно записать в другом виде. Обозначим через , тогда равенство запишется в виде: .

Выпишем выражения для коэффициентов :

Отметим, что .

1.6.2.Преобразование сдвига

Рассмотрим две системы декартовых координам с общим началом в точке O, полученные сдвигом одна относительно другой. Орты осей обозначим i, j встарой системе координам x,y и I,J в новой системе координат X,Y. Таким образом, для точки плоскости M будем иметь (см. рис. 1.22):

=x i + y j = X I + Y J

Рис. 1.22. Сдвиг осей

Slide_1_22 «Преобразование координат на плоскости»

Пусть координаты нового начала равны: . Тогда = = . Отсюда получаем соотношение между старыми и навыми координатами:

формулы преобразования координат при сдвиге

1.6.3. Полянные и сферические координаты

Положение точки на плоскости можно определять расстоянием r этой точки от начала координат и углом поворота радиус вектора точки по отношению к горизонтальной оси x. Ось в этом случае называется полярной осью а пара чисел называется полярными координатами. Связь между декартовыми и полярными координатами выражается формулами:

.

Slide_1_22_1 «Порярные координаты»

В пространстве положение точки можно определить тремя координатами (сферические координаты), которые связаны с декартовыми координатами формулами:

,

где - расстояние от точки до начала координат, - угол между радиус вектором точки и плоскостью , - полярный угол проекции точки на плоскость в системе координат .

Slide_1_22_2 «Сферические координаты»

1.7. Смешанное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей