i , j ,k так, что бы вектор i совпал с ортом e оси . 3 страница

2.5. Барицентрические координаты. Деление отрезка в данном соотношении. Пучок прямых. Пучок плоскостей.

Положение точки на отрезке можно задать величиной , показывающей в каком соотношении точка делит отрезок. Величина также определяет положение точки . Числа , однозначно определяющие положение точки на отрезке, называются барицентрическими координатами точки . Отметим следующие свойства барицентрических координат:

1. .

2. .

3. .

Середина отрезка имеет координаты: .

Рассмотрим три точки на плоскости или в пространстве: . Любая точка треугольника однозначно определятся тремя барицентрическими координатами: , обладающими следующими свойствами:

1. .

2. .

3. .

Линейные операции сложения и умножения на числа над точками определяются так же, как и над векторами. Например, третье условие можно записать в виде: .

Геометрически числа определяются отношениями площадей треугольников , , ко всей прощади треугольника (см. рис. 2.12).

Рис. 2.12. Барицентрические координаты

Если в вершины треугольника поместить одинаковые массы, то центр тяжести такой системы будет иметь барицентрические координаты .

Так же как для треугольника вводятся барицентрические координаты для тетраэдра (не обязательно правильного). Положение внутренней точки тетраэдра однозначно определяется четырьмя числами , удовлетворяющими следующим свойствам:

1. .

2. .

3. .

Геометрически барицентрические координаты равны отношениям объемов внутренних тетраэдров к объему тетраэдра (см. рис. 2.13).

Рис. 2.13. Смысл барицентрических координат

Если в вершины тетраэдра поместить одинаковые массы, то центр тяжести такой системы будет иметь барицентрические координаты .

Свойство 2 барицентрических координат называют еще разбиением единицы.

С помощью барицентрических координат описывают положение прямых и плоскостей в пучках. Вначале дадим определение пучка прямых.

Рассмотрим точку, определяемую двумя не параллельными прямыми:

.

Множество всех прямых, проходящих через эту точку назывется пучком прямых. Между множеством всех прямых пучка и множеством разбиения единицы имеется взаимно однозначное соответствие, именно, любая прямая из пучка имеет свои барицентрические координаты , с помощью которых записывается ее уравнение:

.

Аналогичное положение имеет место с пучком плоскостей.

Рассмотрим прямую, определяемую двумя плоскостями: . Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через эту прямую. Любая плоскость пучка имеет свои барицентрические координаты через которые записывается ее уравнение:

.

Пример. Даны уравнения сторон треугольника: . Сотавить уравнение высоты, опущенной из вершины .

Эта высота принадлежит пучку или, что тоже, . Выпишем условие ортогональности высоты стороне :

. Или .

Рис. 2.14. Уравнения сторон треугольника

В уравнении прямой коэффициенты определяются с точностью до множетиля, отличного от нуля, поэтому возьмем . Таким образом, уравнение высоты будет (см. рис. 2.14):

Геометрия – это исскуство правильно рассуждать над ни куда не годными рисунками. Давид Гильберт.

2.6. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Дано: уравнение прямой в параметрическом виде: r = r₀ + l и точка r₁= .

Первый способ.

1) Составлям уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно прямой:

(r – r₁, l)=0.

2) Находим точку пересечения прямой и построенной плоскости:

(r₀ + l – r₁, l)=0, (l, l)= (r₁ – r₀ , l) = (r₁ – r₀ , l) / (l, l). Радиус вектор искомой точки будет равен: r₂ = r₀ + l (r₁ – r₀ , l) / (l, l).

Находим расстояние между двумя точками (см. рис. 2.15).

Рис. 2.15. Пересечение прямой и плоскости

Второй способ.

Строим параллелограмм на векторах и l. Находим его площадь, как модуль векторного произведения и делим на длину основания l (см. рис. 2.16).

Рис. 2.16. Перпендикуляр на прямую

2.7. Определение координат точки пересечения прямой и плоскости в пространстве

Если прямая задана параметрически r = r₀ + l и уравнение плоскости имеет вид: (r – r₁, l)=0, то эта задача решалась в предыдущем параграфе.

Если прямая задана в виде: , то ее пересечение с плоскостью сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными (см. рис. 2.17)

Рис. 2.17. Точка пересечения трех плоскостей

2.8. Определение координат проекции точки на прямую на плоскости, проекции точки на плоскость в пространстве

Проекция точки на прямую (r – r₀, N)=0 на плоскости.

Если прямая задана общим уравнением , N = , то составляется уравнение прямой r = r₁ + N, проходящей через точку и направляющим вектором l = N. После чего находится точка пересечения этой прямой с исходной прямой: (r₁ + N – r₀, N)=0 (N, N)= (r₀ – r₁, N). Радиус вектор этой точки будет равен: r = r₁ + N (r₀ – r₁, N) / (N, N) (см. рис. 2.18).

Рис. 2.18. Проекция точки на прямую

Аналогично решается задача нахождения проекции точки на плоскость

(r – r₀, N)=0 в пространстве. В векторном виде решение выглядит точно так же, как и в плоском случае.

Уравнение проектирующей прямой: r = r₁ + N, радиус вектор-проекции будет равен: (см. рис. 2.19)

Рис. 2.19. Проекция точки на плоскость

2.9. Базовые задачи

Напоминание.

Прямую, проходящую через точку с направляющим вектором мы договорились обозначать .

2.9.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

Три точки . Точки искомой плоскости удовлетворяют условию: вектора , , должны быть компланарны, то есть, должно быть равно нулю смешанное произведение (см. рис. 2.20)

(, , )=0,

.

Рис. 2.20. Уравнение плоскости по трем точкам

2.9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую

Дана точка и прямая r = r₀ + l.

Точки искомой плоскости удовлетворяют условию: вектора , l, должны быть компланарны. Искомое уравнении плоскости:

(, l, ) = 0.

2.9.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно заданной плоскости

Дана точка и плоскость .

У искомой плоскости общий перпендикуляр с заданной плоскостью, поэтому уравнение искомой плоскости будет: .

2.9.4.Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую, параллельно заданному вектору

Дана прямая с точкой и направляющим вектором . Искомая плоскость будет иметь нормаль (см. рис. 2.21).

Рис. 2.21. Уравнение плоскости через точку

2.10. Разные задачи

2.10.1. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Первый способ. Заданы прямые:

r = r₁ + l₁, r = r₂ + l₂.

Рис. 2.22. Расстояние между прямыми

1) Вектор, перпендикулярный обеим прямым N = [l₁, l₂].

2) По N и точке составляем уравнение плоскости , проходящей через вторую прямую, параллельно первой прямой: плоскость, проходящую через точку с нормалью N.

3) Находим расстояние от точки до плоскости (см. рис. 2.22).

Второй способ.

Находим высоту параллелепипеда, построенного на векторах l₁, l₂, , в основании которого лежит параллелограмм, построенный на l₁, l₂ (см. рис. 2.23).

Ответ: .

Рис. 2.23. Высота паллелепипеда

2.10.2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми

Рис. 2.24. Расстояние между параллельными прямыми

Задача решается одинаково, как для плоского, так и для пространственного случаев (см. рис. 2.24). Искомое расстояние равно высоте параллелелограмма, построенного на векторах l₁, с основанием l₁. .

2.10.3. Составить уравнение прямой, проходящую через точку , заданную прямую, определяемую точкой , направляющим вектором и параллельно плоскости

Рис. 2.25. Уравнение прямой

Уравнение прямой будем искать в виде пересечения двух плоскостей (см. рис. 2.25).

1) Первая плоскость определяется точкой и нормалью .

2) Вторая плоскость проводится через точку и прямую . Таким образом, эта плоскость проходит через и имеет нормаль .

2.10.4. Составить уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

Общий перпендикуляр будем искать в виде пересечения двух плоскостей , .

Рис. 2.26. Общий перпендикуляр

Последовательность действий (см. рис. 2.26):

1) общий перпендикуляр к прямым будет

2) нормаль к плоскости , проходящей через прямую перпендикулярно :

3) сама плоскость определяется точкой и указанной нормалью

.

4) нормаль к плоскости проходящей через прямую перпендикулярно :

5) сама плоскость определяется точкой и указанной нормалью

.

2.10.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую с точкой , направляющим вектором , перпендикулярно плоскости , проходящей через точку с нормалью .

Точка для решения задачи не понадобится и на рисунке она не показана.

Рис. 2.27. Уравнение плоскости

1) Находим перпендикуляр к искомой плоскости (см. рис. 2.27):

.

2) Искомая плоскость будет определяться точкой и нормалью .

2.10.6. Проекция точки на прямую в пространстве

Задана прямая и точка .

1) Строим проектирующую плоскость , проходящую через точку с нормалью .

2) Находим точку пересечения плоскости и прямой .

2.10.7. Симметричная точка относительно плоскости

Дана плоскость , определяемая точкой и нормалью и точка .

Рис. 2.28. Симметричная точка

1) Строится прямая , проходящая через точку , перпендикулярно плоскоси (см. рис. 2.28).

2) Находится точка пересечения этой прямой с плоскостью.

3) Искомая точка находится из треугольника : .

2.10.8. Симметричная точка относительно прямой в пространстве

Задана прямая и точка .

1) Находим проекцию точки на прямую, как это описывалось в пункте 2.10.6.

2) Искомая точка находится из треугольника : (см. рис. 2.29).

Рис. 2.29. Симметричная точка относительно прямой

2.10.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой

Заданы прямые , .

Плоскость , проходящая через первую прямую, параллельно второй прямай определяется, как плоскость, проходящая через с нормалью .

2.10.10. Уравнение прямой, параллельной плоскостям и пересекающей две прямые

Прямая задана пересечением плоскостей . Две прямые имеют направляющие векторы l₁, l₂ (см. рис. 2.30).

Рис. 2.30. Уравнение прямой

1) Находим направляющий вектор прямой : .