Квантовая теория атома

Хотя теория Бора даёт хорошие результаты для водородоподобных атомов, она не может рассматриваться как законченная теория атомных явлений.

С позиций современной физики атом является физической системой, которая заведомо не может быть описана классической теорией, не учитывающей волновых свойств движущегося в атоме электрона, так как длина волны де Бройля такого электрона сравнима с размерами атома.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром водородо- подобного атома

, где

r – расстояние между электроном и ядром, которое в первом приближении

будем считать точечным.

Движение электрона в таком поле можно рассматривать как движение в некоторой сферической потенциальной яме.

Спектр энергий электрона должен быть дискретным, т.е. состоять из отдельных энергетических уровней со

значениями полной энергии электрона Е ₁; Е ₂; Е ₃ и т.д.

Уравнение Шрёдингера имеет вид

Решение этого уравнения проводят в сферической системе координат r, θ, φ, центр которой совпадает с центром ядра атома. В такой системе

Ψ = Ψ(r, θ, φ), а оператор Лапласа

, где ,

Используя оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат

уравнение Шрёдингера преобразуют к виду

Решение этого уравнения ищут в виде произведения двух функций с разделяющимися переменными

Ψ = X(r) ^. Y(θ, φ).

C учётом естественных требований, налагаемых на Ψ- функцию она должна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой.

В процессе решения обнаруживается, что этим требованиям можно удовлетворить при любыхположительных значениях энергии Е, но вобласти отрицательных значений Е – только при дискретных значениях, а именно, если

, где п = 1; 2; 3; …,

что соответствует связанным состояниям электрона в атоме.

Таким образом решение уравнения Шрёдингера приводит в случае Е < 0 к тому же результату, что и теория Нильса Бора но без использования каких либо дополнительных постулатов.

Основное различие заключается в интерпретации состояний электрона: в теории Бора – это движение по стационарным круговым орбитам, а в решении уравнения Шрёдингера орбиты теряют физический смысл – их место занимают Ψ-функции.