Квантовая теория равновесного излучения

Эйнштейн с позиции квантовой теории теоретически рассмотрел проблему равновесного излучения, когда при некоторой температуре Т вещество находится в термодинамическом равновесии с излучением, занимающим объём некоторой полости.

Будем считать вещество состоящим из одинаковых не взаимодействующих друг с другом атомов, которые могут находиться только в двух квантовых состояниях:

Е ₁ – основное состояние атома;

Е ₂ – возбуждённое состояние атома (Е ₂ > E ₁).

Причём возбуждение происходит только при поглощении атомами излучения с частотой ω

В рассматриваемой модели излучение в полости будет монохроматичным и именно такой частоты. Объёмную плотность энергии этого излучения в полости обозначим как и_ω,Т, считая температуру системы заданной и равной Т.

Атом в возбуждённом состоянии может находится в течении очень малого промежутка времени (~ 10^-8 c) и переходит в основное состояние даже при отсутствии внешнего воздействия, испустив квант энергии .

Такое самопроизвольное, не обусловленное внешними причи- нами, излучение возбуждённого атома называется спонтанным излучением.

Будем считать, что

N ₁ – число атомов в рассматриваемой системе находящихся в основном состоянии;

N ₂ – число возбуждённых атомов;

N = N ₁ + N ₂ – общее число атомов.

Вероятность спонтанного излучения в теории Эйнштейна определяется значением некоторого коэффициента А, такого, что в рассматриваемой системе в единицу времени будет наблюдаться Z₂₁ = A^. N ₂ спонтанных переходов атомов из возбуждённого состояния в основное. Величину Z₂₁ можно назвать скоростью таких переходов, которые увеличивают энергию излучения за счёт уменьшения энергии вещества.

12 - 2

Спонтанное излучение неполяризованно и имеет очень малое время когерентности. Такое излучение испускают обычные источники света (Солнце, нагретые тела и т.д.).

Невозбуждённый атом, поглощая

излучение, может перейти в возбуждённое состояние. Вероятность такого процесса определяется значени-

ем коэффициента В₁₂.

Скорость перехода атомов из основного в возбуждённое состояние

Z₁₂ = B₁₂^. N ₁^. u_ω,T.

При равновесии системы вещество – излучение должно выполняться условие

Z₁₂ = Z₂₁ B₁₂^. N ₁^. u_ω,T = A^. N ₂

Соотношение между N ₁ и N ₂ в состоянии термодинамического излучения соответствует распределению Больцмана

.

Тогда

.

Опыт показывает, что и_ω,Т при Т неограниченно растёт, а теория, согласно данной формуле приводит к тому, что

.

Для снятия этого противоречия Эйнштейн пришёл к выводу, что в рассматриваемой равновесной системе происходит ещё один процесс – вынужденное излучение.

Вероятность процесса вынужден-

ного излучения характеризуется коэффициентом В₂₁. Скорость такого процесса определяется как

Z`₂₁ = B₂₁^. N ₂^. u_ω,T.

Теперь условие равновесия системы

Z₁₂ = Z₂₁ + Z ` ₂₁ или

B₁₂^. N ₁^. u_ω,T = A^. N ₂ + B₂₁^. N ₂^. u_ω,T

12-3

Теперь и левая и правая часть равенства содержат множитель и_ω,Т , неограниченно растущий при .

Кроме того, при и с учётом получаем (т.к. )

В₁₂ = В₂₁ = В.

Таким образом, в теории остаются два коэффициента А и В, характеризующие вероятности рассматриваемых в системе процессов взаимодействия излучения и вещества.

Между этими коэффициентами есть связь, которая получается из формулы Планка и выражается формулой

В = А.