Метод ложного положения

Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона.

Пусть известно, что простой корень x ^* уравнения f (x) = 0 находится на отрезке [ a, b ] и на одном из концов отрезка выполняется условие f (x) f" (x)0. Возьмем эту точку в качестве начального приближения. Пусть для определенности это будет b. Положим x ₀ = a. Будем проводить из точки B = (b, f (b)) прямые через расположенные на графике функции точки B_n с координатами (x_n, f (x_n), n = 0, 1, …. Абсцисса точки пересечения такой прямой с осью OX есть очередное приближение x_{n+ 1}.

Геометрическая иллюстрация метода приведена на рис. 2.10.

Рис. 2.10

Прямые на этом рисунке заменяют касательные в методе Ньютона (рис. 2.8). Эта замена основана на приближенном равенстве

f (x_n). (2.23)

Заменим в расчетной формуле Ньютона (2.13) производную f (x_n) правой частью приближенного равенства (2.23). В результате получим расчетную формулу метода ложного положения:

x _{n +1} = x _n -.. (2.24)

Метод ложного положения обладает только линейной сходимостью. Сходимость тем выше, чем меньше отрезок [ a, b ].

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода ложного положения такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

| x_n - x_{n - 1}| <. (2.25)

Пример 2.5.

Применим метод ложного положения для вычисления корня уравнения x ³ + 2 x - 11 = 0 с точностью = 10^-3.

Корень этого уравнения находится на отрезке [1, 2], так как f (1) = -8 < 0, а f (2) = 1 > 0. Для ускорения сходимости возьмем более узкий отрезок [1.9, 2], поскольку f (1.9) < 0, а f (2) > 0. Вторая производная функции f (x) = x ³ + 2 x - 11 равна 6 x. Условие f (x) f" (x)0 выполняется для точки b = 2. В качестве начального приближения возьмем x ₀ = a = 1.9. По формуле (2.24) имеем

x ₁ = x ₀ -. = 1.9 + 1.9254.

Продолжая итерационный процесс, получим результаты, приведенные в табл. 2.5.

Таблица 2.5

n	xn
	1.9 1.9254 1.9263 1.9263