Классификация моделей случайных процессов

Случайные процессы делятся на следующие широкие классы: гауссовы процессы; процессы с независимыми приращениями; стационарные в широком смысле; марковские процессы.

3.2.1. Модели на базе гауссовых случайных функций. Важную роль во многих прикладных вопросах играют случайные функции, конечномерные распределения которых являются гауссовыми (нормальными). Определение многомерного гауссова распределения следующее.

Определение. Случайный вектор X=(X₁,X,...,X_n) имеет гауссово (нормальное) распределение, если характеристическая функция распределения представима в виде

j(u)=M{eхр[j(u,x)]}=eхр[j(m,u)-0,5R(u,u)],

где m=(m₁,m₂,…,m_n), u=(u₁,u₂,…,u_n) - векторы, R - неотрицательно-определенная вещественная симметричная матрица, R=||rij||, i,j=1,n. Здесь (a,b) обозначает скалярное произведение векторов a и b, так, что

, .

3.2.2. Модель процессов с независимыми приращениями. Пусть T - конечный отрезок T=[0,a] или T=[0,¥].

Определение. Случайный процесс {X(t), tÎT} со значениями в евклидовом пространстве R ⁿ называется процессом с независимыми приращениями, если для любых n, таких, что 0<t₁<t₂<...<t_n, случайные векторы X(0), X(t₁)-X(0),...,X(t_n)-X(t_n-1) - взаимно независимы.

Вектор X(0) называется начальным состоянием (значением) процесса, а его распределение - начальным распределением процесса. Чтобы задать процесс с независимыми приращениями в широком смысле, достаточно задать начальное распределение Р0(B)=Р{X(0)ÎB} и набор распределений Р(t,h,B) - распределений вектора Р{X(t+h)-X(t)}ÎB.

Процесс с независимыми приращениями называется однородным, если распределения вектора X(t+h)-X(t) не зависят от t, Р(t,h,B)=Р(h,B).

3.2.3. Модель процессов, стационарных в широком смысле. Стационарные процессы - это такие процессы, теоретико-вероятностные характеристики которых не изменяются со временем. Пусть T=[0,a] или T=[0,¥).

Определение. Модель случайного процесса (в широком смысле) {X(t), tÎT} со значениями в R ⁿ называется стационарной, если для любого n и любых t₁,t₂,...,t_т, таких, что t_k+tÎT, (k=1,n), совместное распределение случайных векторов, описывающих случайный процесс X(t₁+t),...,X(t_n+t), не зависит от t.

Имеются задачи, относящиеся к теории стационарных процессов, решение которых может быть выражено через моменты первого и второго порядков рассматриваемых процессов, т.е. многие задачи можно решать, находя моменты первого и второго порядков. Целесообразно определить класс процессов, моменты первого и второго порядков которых обладают свойствами стационарности.

Определение. Случайный процесс X(t), t>0 со значениями в пространстве R ⁿ называют процессом, стационарным в широком смысле, если M[X(t)]²<¥ и M[X(t)]=m=сonst, M[X(t)-m][X(s)-m]=R(t-s), (t>s), где R(t) - непрерывная матричная функция.

Функцию R(t) называют корреляционной (матричной) функцией процесса X(t). В качестве примера стационарных в широком смысле процессов можно рассмотреть колебания со случайными параметрами.

3.3. Модели марковских процессов

Наибольшее распространение в теории систем, как вероятностная схема описания, получили марковские процессы, представляющие собой типичную вероятностную модель «без последействия».

Представим себе систему, которая может находиться в разных состояниях. Возможные состояния образуют множество Х, называемое фазовым пространством. Пусть система эволюционирует во времени. Состояние системы в момент времени t обозначим через х_t. Если х_tÎB, где BÎХ, то будем говорить, что система в момент времени t находится во множестве B. Предположим, что эволюция системы носит стохастический характер, т.е. состояние системы в момент времени t не определяется однозначно через состояние системы в моменты времени s, предшествующие t, где s<t, а является случайным и описывается теоретико-вероятностными законами.

Пусть Р(s,х,t,B) - вероятность события х_tÎB (s<t), при условии, что х_s=х. Функцию Р(s,х,t,B) называют вероятностью перехода рассматриваемой системы. Под системой без последействия понимают систему, для которой вероятность попадания в момент времени t во множество B, при полностью известном движении системы до момента времени s (s<t), по-прежнему равна Р(s,х,t,B) и, таким образом, зависит только от состояния системы в последний момент времени.

Обозначим через Р(s,х,u,y,t,B) условную вероятность события х_tÎB при гипотезах х_s=х, х_u=y (s<u<t). В соответствии с общими свойствами условных вероятностей имеет место равенство

. (3.3)

Для системы без последствия естественно предположить, что

Р(s,х,u,y,t,B)=Р(u,y,t,B).

Тогда равенство (3.3) примет вид

. (3.4)

Соотношение (3.4) называется уравнением Колмогорова-Чепмена. Это уравнение определяет модель марковского процесса.

Пусть {Х,B} -некоторое измеримое пространство. Функцию Р(х,B), хÎХ, BÎB, удовлетворяющую условиям:

а) Р(х,B) при фиксированном х является мерой на B и Р(х,Х)=1;

б) при фиксированном B Р(х,B) является B - измеримой функцией от х будем называть стохастическим ядром.

Пусть I - некоторый конечный или бесконечный полуинтервал (отрезок). Семейство стохастических ядер {Р_st(х,B)=Р(s,х,t,B), s<t, (s,t)ÎI´I}, удовлетворяющих уравнению Колмогорова-Чепмена (3.4), будем называть марковским семейством стохастических ядер.

Определение. Моделью марковского процесса в широком смысле называется совокупность следующих объектов:

- измеримое пространство {х, B};

- полуинтервал I (отрезок) действительной оси;

- марковское семейство стохастических ядер {Р_st(х,B), s<t, (s,t)ÎI´I}.

Семейство ядер Р_st(х,B)=Р(s,х,t,B) называют вероятностью перехода марковского процесса, пространство {х,B} - фазовым пространством системы, точка множества I интерпретируется как моменты времени, а величина Р_st(х,B)=Р(s,х,t,B) - как условная вероятность того, что система в момент времени t окажется во множестве B, если в момент времени s она находилась в точке х фазового пространства (s<t).

Дискретные случайные процессы, обладающие марковскими свойствами, называются цепями Маркова. В фазовом пространстве простейшими марковскими процессами являются процессы со счетным или конечным числом состояний. В фазовых пространствах выделяются следующие классы марковского процесса.

Скачкообразные процессы. Система, попадая в некоторую точку фазового пространства, проводит в ней случайный положительный отрезок времени, после чего скачком случайно попадает в другую точку фазового пространства.

Процессы с дискретным вмешательством случая. Эти процессы моделируют динамическую систему, траектории которой в случайные моменты времени терпят разрывы первого рода со случайными скачками.

Диффузионные процессы. Так называют процессы в конечномерных линейных пространствах, которые на малых промежутках времени ведут себя аналогично процессу броуновского движения.

Марковские процессы в конечномерном пространстве, аппроксимируемые на малых промежутках времени произвольным процессом с независимыми приращениям.