Период реактора

Знание этого раздела необходимо для практической работы на реакторе в качестве оператора, т.к. нужно уметь предсказывать поведение нейтронного потока и тепловыделения во времени и в любой точке реактора. Дело в том, что реактор обычно работает на предельных параметрах (температура, распад

и т.п.), и даже небольшие отклонения параметров от номинальных могут привести к серьёзным последствиям. Поэтому необходимо уметь вмешиваться в процессы, происходящие в реакторе.

Мы будем считать, что реактор - единое целое, обладающее коэффициентом размножения. И будем искать зависимость потока во времени, когда K_эфф мало отличается от 1.

Ранее было получено

где

- среднее время жизни нейтрона в конечной среде,

- среднее время жизни нейтронного поколения,

- вероятность избежать утечки.

Время замедления значительно меньше времени диффузии, т. е. экспоненциальный рост нейтронного потока мы получаем и более грубыми методами. Но сейчас мы остановимся на более точном подходе. Это связано с очень важными практическими выводами. Было бы удобно, если бы человек мог реагировать на изменение хода цепной реакции. Введём новую величину: период реактора T - время, в течение которого поток в реакторе изменяется в e раз:

Для мгновенных нейтронов l ~ 10-3c, а с учетом запаздывания это время может увеличиться на 2 порядка. Из-за сильного влияния exp на поток Ф необходимо учитывать запаздывание нейтронов.

Уравнение диффузии с учётом запаздывающих нейтронов

Возвратимся к «голому» реактору на тепловых нейтронах и рассмотрим нестационарную задачу. Найдём распределение нейтронного потока с учётом запаздывающих нейтронов. Рассмотрим процесс запаздывания. Существует 6 групп запаздывающих нейтронов, и каждой группе соответствуют ядра-предшественники – это осколки, которые после b-распада могут испустить нейтрон. Каждое из ядер-предшественников имеет некоторое время жизни по отношению к распаду ti. А т.к. дочернее ядро испускает нейтрон почти мгновенно, то время запаздывания примерно равно времени b-распада

ti = ti

Если доля запаздывающих нейтронов i-той группы среди всех запаздывающих нейтронов равна bi, то

Чтобы знать скорость рождения запаздывающих нейтронов, надо следить за плотностью ядер - предшественников. Пусть - число ядер-предшественников i-той группы в единице объёме вблизи точки с координатой в момент времени t. Запишем уравнение баланса для Сi

где li = 1/ τ_i - постоянная b-распада, т.е. доля ядер, распадающихся в единицу времени;

liCi - скорость b-распада;

- общее число быстрых нейтронов,

- число ядер-предшественников, рождающихся в ед. времени.

Уравнение диффузии тепловых нейтронов

Если учесть запаздывающие нейтроны, то изменится S:

- общее число поглощений в реакторе;

- общее число нейтронов, рождающихся в реакторе;

- число быстрых нейтронов, рождающихся в реакторе;

- число нейтронов, рождающихся в тепловой группе.

Итак, если прибавить источники нейтронов, обусловленные b-распадом

(запаздывающие нейтроны), то получим

.

Тогда система уравнений диффузии и баланса

ГУ: 0 < F < ¥ в области определения,

F = 0 на экстраполированной границе.

НУ: при t=0 произошел скачок реактивности, т.е. К = 1+DК. Нас интересует реакция системы на такое изменение К.

экстраполированная граница

ΔК

Кэфф

Рис. 14.2.1.

Будем искать решение в виде

Из уравнения баланса

Þ

Подставим отсюда F(r) в уравнение диффузии:

Здесь от r зависит только первое слагаемое, значит

а это волновое уравнение, и мы знаем его решение. Из этого уравнения можно найти минимальное собственное значение Вr 2. Тогда можно записать

Подставим это в уравнение диффузии

Кроме того получим

Эти уравнения образуют систему. Будем искать решение в виде

F(r,t)=F0(r) ewt

где F0(r) - поток в стационарном реакторе до скачка реактивности

Сi(r,t)= C 0 i (r) ewt,

т.е H i =T(t)= ewt

w - пока ещё не определена. Подстановка такого вида искомых функций действительно покажет, что такой вид удовлетворяет уравнениям и даёт возможность найти w.

Второе уравнение получили из уравнения для ядер-предшественников. Подставим в уравнение диффузии.

разделим это уравнение на 1+ L 2 Br 2, получим

Получили алгебраическое уравнение для определения w. Корни этого уравнения для w и будут теми значениями, которые будут фигурировать в выражении для распределения нейтронного потока во времени. Перепишем в более удобном виде.

Последние выражение накладывает определенные ограничения на w. Введем реактивность r, характеризующую отклонение реактора от критического состояния

Подставим это в последнее уравнение

(*)

r - скачок К_∞, который происходит в начальный момент времени, w - будет определяться скачком К_эфф. Последнее уравнение 6-ой степени относительно w имеет 6 корней. Один корень положительный, остальные 5 – отрицательные. Характер решения легче всего определить из графика зависимости r (w).

График зависимости r (w).

-λ1

w0

w1

w2

w3

w4

-λ4

-λ3

-λ2

r

r (w)

w

Рис. 14.2.2.

По уравнению (*) можно будет определить К_эфф по известному периоду реактора. Именно этим выражением и воспользуемся. Замерить значение К_эфф очень трудно. Определить период реактора не является сложным, отсюда находят К_эфф. При положительном значении r один из корней будет положительным, остальные 5 – отрицательных. Значения w имеют порядок постоянной распада λ. Отсюда можно записать общее решение системы уравнений в виде суммы 6-ти экспонент:

Если p > 0 имеем один положительный и пять отрицательных корней; при p < 0 все корни отрицательны.

Итак, общее решение

При p > 0 по истечении некоторого времени t в решении остается только одно слагаемое с w > 0

,

т.е. F число экспоненциально зависит от t. В этом случае установившийся период (т. к. он устанавливается по истечении определённого промежутка времени)

.

Время вывода реактора на установившийся режим определяется временем затухания экспонент с w > 0

,

где сек - время запаздывания.

Если подставить w0в выражение для r, то получим

Последнее равенство позволяет судить о коэффициенте размножения в ядерном реакторе, т.к. он связан с потоком F(t), а из этого равенства можно найти T. Если известен T из эксперимента, то можно найти r и, значит, коэффициент размножения. Видно, что влияние l на r при малых значениях r мало и увеличивается с ростом величины . b_i и λ_i – характеристики данного горючего; в последнем равенстве λ слабо влияет на r.

Характеристика r (w₀) для U²³⁵

l =10-5сек

l =10-3сек

l =10-4сек

w0=1/Т

r

0,004

0,002

Рис. 14.2.3.

Из графика видно, что при малых реактивностях изменение l на 2 порядка совершенно не сказываются на r. При r > b эта зависимость более или менее проявляется.

Малые реактивности

Пусть r мало, т.е. T таково, что

, т.е. (τ_{i max} = 80сек)

или T больше любого из времени жизни запаздывающих нейтронов. Если это так, то, пренебрегая единицей в знаменателе выражения для r, получим

где - среднее время жизни нейтронов с учетом запаздывания.

Это означает, что прямая характеризуется наклоном , зависящим от запаздывания нейтронов. В этом выражении влияние первого члена мало, т.к.

, а

Значит, большие изменения r приводят к малым изменениям в периоде T (слабая чувствительность T к D r при малых r), а чувствительность определяется временем . Период реактора примерно на 2 порядка больше, чем в случае, если бы запаздывающих нейтронов не было.