Аксиомы, задающие вероятность

Пусть есть алгебра событий, определенная в пункте 1.

Определение. Вероятностью называется функция (на ), которая каждому случайному событию ставит в соответствие число и удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1.

Аксиома 2.

Аксиома 3. Если случайные события попарно несовместимы (то есть т. ч. ) то

Замечание. Если имеется бесконечное число попарно несовместных событий то в правой части последнего ряда стоит сумма ряда.

Аксиомы 1-3 вместе с понятием алгебры событий являются фундаментом всей теории вероятности. Все утверждения и теоремы выводятся из них логическим путем.

Приведем некоторые из этих утверждений и теорем.

Утверждение 1.

Доказательство.

Так как и события и несовместимы, то из аксиом 1, 2, 3 следует

Утверждение доказано.

Замечание. При доказательстве утверждения 1 выведена полезная формула

Утверждение 2. (Вероятность суммы событий).

Доказательство.

Заметим сначала, что множества и можно представить в виде суммы непересекающихся множеств:

и

Далее из аксиомы сложения следует, что

и

Если из второго равенства вычесть первое, то получим требуемое равенство. Утверждение доказано.

Тема 2: Условная вероятность. Независимые события. Формула полной вероятности и Байеса.