Проблема дележа выигрыша между участниками коалиции

Решение этой проблемы может осуществляться разными способами: переговоры, привлечение сторонних лиц и др., но лучше использовать алгоритмическое решение проблемы дележа. Тогда имеется возможность каждому участнику независимо от других выявить потенциальные коалиции и вступить с ними в переговоры.

Рассмотрим принципы алгоритма справедливого дележа:

а) участник, присоединившийся к коалиции, но не приносящий ей пользу, ничего не выигрывает. Другими словами, если к коалиции присоединяем -го участника и он не увеличивает выигрыш коалиции, т.е. , то выигрыш участника равен нулю: ;

б) сумма выигрышей участников коалиции равна общему выигрышу коалиции:

.

Используя принцип (а), составим для коалиции из участников формулу дележа общего выигрыша .

Для участника коалиции выберем все возможные внутренние коалиции из участников, не включающие участника , . Таких внутренних будет – (сочетание из участников по ). Усредним полезность участника в коалициях с (число участников в коалициях одинаково и равно , а вместе с участником коалиции будут ).

Если рассмотреть коалиции с числом участников , то тем самым охватим все возможные коалиции, которые могут быть внутренними по отношению к общей коалиции .

Усредняя полезность участника уже во всех возможных коалициях, получим формулу его выигрыша:

. (2.9)

Выигрыши участников коалиции , вычисляемые по формуле (2.9), называют вектором Шепли.

Кроме свойства (б), вектор Шепли обладает еще свойством аддитивности.

Пусть задана характеристическая функция

,

в которой выигрыш участника в коалиции равен , и вторая характеристическая функция , в которой выигрыш участника равен . Если сформировать третью характеристическую функцию , элементами которой будут суммы соответствующих элементов функций и , то выигрыш участника будет равен

.

Данное свойство весьма полезно на практике, так как сотрудничество участников может быть по нескольким областям их деятельности. Тогда по каждой области деятельности может быть составлена своя характеристическая функция. Дележи могут проводиться по каждой отдельной области совместной деятельности или вместе по всем областям. Но оценивать полезность коалиций необходимо по сумме всех областей совместной деятельности.

Для выбора каждым участником лучшей стратегии необходимо выбрать максимальный выигрыш (см. таблицу выигрышей). Если для нескольких участников игры стратегии совпадают, то эта коалиция и будет эффективна для ее участников.

Необходимо иметь в виду, что определение выигрышей по формуле (2.9) означает справедливый дележ. Поэтому при анализе результирующей матрицы выигрышей можно отходить от вычисленных , чтобы добиться устойчивого компромисса при дележе.

Рассмотрим последовательность решения коалиционной игры на примере характеристической функции, приведенной в начале данного раздела.

Вычислим выигрыши участников в различных коалициях, используя формулу (2.9):

,

,

,

,

,

,

,

.

Для выявления лучшей стратегии составим матрицу выигрышей:

Так как максимальные выигрыши для всех участников соответствуют одной стратегии (коалиции), то и будет оптимальной.

Вопросы и задачи

1. Сформируйте платежную матрицу с тремя седловыми точками.

2. Какие из множества чистых стратегий являются активными?

3. Какие из списка чистых стратегий являются доминируемыми, доминирующими? Какие из них могут входить в число активных стратегий?

4. Что такое приемлемая стратегия? Может ли быть чистая стратегия приемлемой?

5. Покажите, что использование принципа решения биматричных игр для матричных игр приводит к тем же результатам, что их решение с использованием теоремы о минимаксе.

6. Решите игру со следующей платежной матрицей:

7. На двух рынках S₁ и S₂ конкурируют две фирмы А и В. Матрицы выигрышей (прибыли) фирм А и В равны:

.

В каких пропорциях следует разделить суммы на рекламную кампанию на каждом из рынков фирме А и фирме В?

8. Какие свойства присущи вектору Шепли в коалиционных играх?

9. Решите коалиционную игру для трех участников со следующей характеристической функцией: