Математична модель 4 страница

Послідовність обчислювальних операцій така ж, як в інших алгоритмах.

1. Задають початкові довільні функції розподілу по глибині електроду локальних значень концентрацій всіх компонентів.

2. Далі всі розрахунки виконують в ітераційному циклі:

А- За формулами (6.26) підраховують функції розподілу концентрацій компонентів у вузлах 2.. N-1, . Значення в першому і останньому вузлах задані

Б- Визначають сумарну концентрацію зарядів , і якщо вона не нульова, коректують індивідуальні концентрації іонів, як було показано в п.6.3.

В- Визначають потоки g_i окремих компонентів за виразом в квадратних дужках в (6.26). Для контролю можна визначати цей параметр, наприклад, в різних точках осв 0х – на лівій та на правій межі, в середині. Ці величини для кожного іона повинні бути однаковими.

Г- Перевіряють якість сходження ітерацій, порівнюючи між собою на двох сусідніх ітераціях наприклад, або всі, або окремі значення іонних потоків або концентрацій. Якщо сходження досягнуто і функція співпадає з визначеною кроком раніше, процес припиняють.

Кінцевим результатом рішення є функції розподілу концентрацій по товщині сепаратора С(х) для всіх компонентів реакції а також їх потоки через сепаратор з однієї камери в протилежну.

На рисунку 6.7 наведено приклад розрахованих концентраційних профілів в електроліті , який містить чотири види іонів різних знаків (нумерація кривих 1-H⁺, 2-Cu²⁺, 3-Zn²⁺, 4-SO4^2-). В правій електродній камері (катод Cu⁰/Cu²⁺ елемента Даніеля-Якобі) міститься розчин , в лівій (анод Zn⁰/Zn²⁺) - . Напрямок руху катіонів в сепараторі – зліва направо, він визначений напрямком струму при розряді елемента.

Рис.6.7. Концентраційні профілі чотирьох видів іонів

З форми профілю кривої 2 (Cu²⁺) видно, що справа існує досить сильний дифузійний потік іонів Cu²⁺ в сепаратор через великий градієнт концентрації. Але він повністю компенсується зустрічним міграційним потоком, тому в даному випадку іони міді в ліву (анодну) камеру не проникають – це видно з того, що в лівій частині концентрація іонів Cu²⁺ практично нульова.

7.Витоки струму в високовольтних електрохімічних пристроях

В промисловій електрохімії існують технології, коли велику кількість однакових електролізерів безперервної дії (або деяких хімічних джерел струму) послідовно з’єднують між собою за струмом, утворюючи багатовольтні (до 1000 В) серії з одним спільним джерелом струму. При цьому для безперервного подавання в електролізери розчину з реагентами часто живлення розчином організують паралельно –– потоками електроліту з єдиного спільного колектора-труби, від якого на кожний апарат є окреме відгалуження. Аналогічно через спільний вихідний колектор з системи виводять електроліт, який містить продукти в розчинеій формі (рис.7.1а).

Кожний елемент має безструмову напругу U₀, яка приблизно така ж, як ЕРС або напруга розкладання електроліту.

В такій конструктивній схемі циркуляції розчину виникають так звані паразитні струми витоку, які завжди пов’язані з втратою енергії – або генерованої в ХДС, або підведеної зовні до електролізерів.

Механізм виникнення струмів витоку можна пояснити на схемі N-елементної батареї, показаній на рис. 7.1.

Струми витоку з’являються внаслідок того, що електроліт в системі циркуляції утворює два додаткові електропровідні шунти – паралельні до лінії елементів. Колектори (точніше – електроліт в колекторах) мають на ділянці товщини L_K одного елемента опір R_К, і з’єднані з лінією електролізерів (або елементів ХДС) поперечними каналами (відгалуженнями), які мають довжину L_П і опір R_П. Таким чином виникають два додаткових замкнутих електричних кола. На рис.7.1.б показане лише одне коло для вхідного колектора, друге таке ж саме для вихідного колектора. Обидва кола шунтують одну і ту ж лінію елементів (електролізерів). Якщо опори обох кіл приблизно однакові, тоді можна розглядати їх умовно як одне коло з вдвічі меншими значеннями опорів R_К, R_П.

Характерні опори R_К, R_П визначаються як функції питомого опору електроліту r_Е та геометричних розмірів відповідних каналів (довжини L і площі перетину S), а внутрішній опір електрохімічного елемента R_Е – як функцію падіння напруги в елементі і струмового навантаження елемента І_Е :

; ; . (7.1)

Рис. 7.1. Структура циркуляційних потоків електроліту в багатоелементних електрохімічних системах (а) і електрична модель контура струмів витоку (б).

Між кінцевими точками шунтуючої лінії, а це одночасно є кінцеві точки робочої лінії, існує напруга (рис.7.1.б). Вона і викликає появу струму між ними через колектор. Але ці струми протікають не лише від кінцевих точок лінії, але одночасно і між будь-якими іншими точками, бо всі вони електрично зв’язані з колектором. Завдання і полягає в тому, щоб підрахувати значення струмів у всіх елементах кола.

Математична модель і алгоритм

Розподіл потенціалів в електричному колі струмів витоку підлягає типовим закономірностям, характерним для електричних систем з розподіленими параметрами:

, , (7.2)

де – різниця потенціалів між електролітом в колекторі і в елементі на рівні n-ного елемента, n_Е –виражений числом одиничних елементів характерний масштаб довжини області генерування струмів витоку.

Граничні умови для рівняння (7.2) визначаються умовами симетрії в середині батареї (n=0) та нульовим значенням інтегрального струму на краях батареї:

; . (7.3)

Рівняння (7.2) спочатку перетворюється в різницеву форму з дискретним кроком n=1 елемент (7.4):

, відки

і далі вирішується відносно значення ω_j ітераційним методом.

Рис.7.2. Характер розподілу локальних струмів через опори (іу) та інтегрального струму в колекторі Іу (розраховано програмою MOL).

Відомі деякі теоретичні закономірності генерування струмів витоку, одержані розрахунком найпростіших конструкцій.

§ Локальні струмі витоку і_у обернено пропорційні значенню поперечного опору R_П, а інтегральний струм в колекторі I_У обернено пропорційний сумі поздовжніх (R_E+ R_K).

§ Максимальне значення інтегрального струму витоку в колекторі І_У. cпостерігається в середині лінії.

§ В серіях з великою кількістю елементів струми витоку генерують тільки групи елементів на краях серії, а середня частина участі в генерації струмів витоку не приймає: i_У=0, І_У= const (рис.7.3). Незважаючи на це, негативна дія струму І_У проявляється найбільше саме в середній частині батареї, через додатковий спад напруги на елементах від інтегрального струму витоку, який протікає через самі елементи (електролізери), як показано на рис. 7.1б.

§ Струм І_Б, який проходить через всі елементи серії, є сумою зовнішнього струму І_З, який входить в систему від зовнішнього джерела (або генерується на зовнішнього користувача), та інтегрального струму І_У, який змінюється по координаті довжини, І_Б=І_У + І_З. Найбільшим є значення струму І_Б в середині серії, тому воно при невдалій конструкції системи може набагато перевищувати регламентоване значення І₃.

Потужність, яка витрачається на генерування струмів витоку, є сумою трьох частин: витрат на опорах колекторних каналів R_К, перехідних каналів R_П і самих елементів R_Е, і в сумі складає величину

, (8)

де множник перед дужками – граничне значення потужності, яка витрачається на циркуляцію струмів витоку при умові n® ¥.

Обмежити негативну дію витоків струму в батареях з циркулюючим електролітом можна при оптимальному конструюванні батарей, різними способами, наприклад, зменшенням діаметрів циркуляційних каналів, розриванням потоку електроліту, пропусканням бульбашок газу через колектор (розривають електричне коло), тощо.

Рис.7.3. Характер розподілу струмів при великому значенні колекторного опору