![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим процесс теплообмена в открытой КС. Примем следующие допущения: заряд в КС квазиравновесный, его движение – квазистационарное. Воспользуемся системой уравнений (18)-(21) из § 2.2 для ламинарного пограничного слоя.
Движение заряда на границе пограничного слоя будем считать градиентным (dP / dx не равен нулю). Будем также считать, что градиент давления одинаков как для ядра потока вблизи стенки, так и для самого пограничного слоя. Постановку задачи примем двумерную (рис. ХХ).
Рис. ХХ. К постановке задачи о конвективном теплообмене в КС ДВС
при градиентном течении газа вблизи стенки
На первом этапе решения задачи локального теплообмена находится распределение скоростей в пограничном слое. Рассмотрим некоторые положения данного решения.
Воспользуемся уравнением движения в ЛПС:
![]() | (131) |
и уравнением сплошности:
![]() | (132) |
Причем градиент давления вблизи стенки и распределение продоль-ной (касательной) скорости известно из (21):
.
Граничные условия для системы (131)-(132):
на стенках камеры сгорания: z = 0, ![]() ![]() ![]() | (133) |
При градиентном течении обычно используют аппроксимацию изменения скорости внешнего потока в виде:
![]() | (134) |
где C – постоянная, m – параметр градиентности потока.
Введем функцию тока Y так, что:
![]() | (135) |
При подстановке производных Y в уравнение сплошности (132) получаем его тождественное выполнение. Это позволяет избавиться от последнего, однако порядок произодных в уравнении движения при подстановке тех же производных увеличится.
Введем безразмерную функцию тока:
![]() | (136) |
и безразмерную поперечную координату:
![]() | (137) |
где d – текущая толщина динамического пограничного слоя.
Для ламинарного пограничного слоя в градиентных условиях:
![]() | (138) |
В последних двух выражениях A (m) – функция параметра градиентности потока (рис. ХХ). При малых m толщина ЛПС максимальна, а с его ростом быстро падает. При m = –0,0904 пограничный слой теряет устойчивость.
Рис. ХХ. График изменения функции A (m)
Выразим размерную координату z из (137): z = c 1h, где c 1 – константа.
Тогда, поскольку , а
, то
![]() | (139) |
Или,
![]() | (140) |
Таким образом, f ¢(h) – относительная скорость в пограничном слое с точностью до коэффициента c 1.
Далее в уравнении (131) осуществляется переход к безразмерной поперечной координате h и безразмерной функции тока f (h). В результате решения полученого уравнения находят f (h) и ее производную – безразмерное распределение скорости в пограничном слое f ¢(h). Далее будем считать, что они уже известны, а скоростная задача для ЛПС решена.
Далее переходят к задаче нахождения распределения температур в пограничном слое, для чего используют уравнение Фурье-Кирхгоффа:
![]() | (141) |
с граничными условиями
при z = 0: T = Tw; при ![]() | (142) |
Введем новую переменную J – приращение температуры относительно Tf: . После замены в (141) T на J получим:
![]() | (143) |
где .
Граничные условия для (143):
при z = 0: ![]() ![]() ![]() | (144) |
где – известный температурный напор.
Подставим в выражение для безразмерной поперечной координаты (137) формулу (138) с учетом того, что :
![]() | (145) |
Воспользуемся последним выражением для h и функциями f (h) и
f ¢(h) для модификации выражения (143). Условимся, что решение (143) будем искать в виде J = J(x,h), где h = h(x, z). Для этого выразим частные производные J(x, z), входящие в это уравнение, через производные более низших порядков.
Выразим :
![]() | (146) |
Берем производную от h(x, z) из (145):
![]() | (147) |
После подстановки (147) в (146) получим:
![]() | (148) |
Выразим следующую производную:
![]() | (149) |
Взяв производную от h по z (145), получим:
![]() | (150) |
тогда
![]() | (151) |
Далее определим вторую производную J по z с учетом (151):
![]() | (152) |
Подставляя в (143) полученные производные, а также безразмерную функцию тока f и ее производную f ¢, уравнение энергии приводят к виду:
![]() | (153) |
где – характеристика степени градиентности потока.
Решение (153) с граничными условиями (144) с условием замены z на h (z = c 1h) ищем в виде:
![]() | (154) |
Подставляя последнее выражение в (153) получим:
;
;
.
Разнеся переменные в разные части уравнения, получим:
![]() | (155) |
где n – собственные числа решения.
После разделения переменных имеем систему уравнений:
![]() | (156) (157) |
Решим (157), умножив его на следующее выражение:
.
После приведений в последнем:
![]() | (158) |
Уравнение (158) можно проинтегрировать:
;
;
.
потенцируя последнее выражение, получаем:
![]() | (159) |
Подставляя полученное выражение в общее решение (154), имеем:
![]() | (160) |
Дальше будем искать граничные условия 3-го рода, когда распределение температур в пограничном слое не зависит от распределения температур в стенке а, следовательно, и от продольной координаты x (Tw = const). Это возможно только в случае равенства нулю собственных чисел решения n, тогда:
![]() | (161) |
где – полный температурный напор.
Далее, положив в (156) собственные числа решения равными нулю, решаем его со следующими граничными условиями:
![]() | (162) |
Итак: , и
.
После интегрирования имеем:
.
В результате потенцирования получаем:
![]() | (163) |
Интегрируем это выражение во второй раз, считая, что :
![]() | (164) |
Согласуем решение (164) с граничными условиями (162):
на стенке, при ;
в потоке, при .
Подставив постоянные интегрирования в (164) получаем:
![]() | (165) |
Таким образом, распределение температур в пограничном слое найдено (в приращении от Tf по безразмерной поперечной координате h).
Перейдем теперь к определению граничных условий теплообмена (в виде ГУ 3-го рода):
![]() | (166) |
Производную уже нашли, см. (151), следовательно:
![]() | (167) |
Поскольку , то
![]() | (168) |
Далее определим значение Z '(h) на стенке. Согласно (163):
![]() | (169) |
Введем обозначение:
![]() | (170) |
Подставляя (170) в (168) получим следующее:
.
Внеся x в подкоренное выражение, и выполнив переносы, имеем:
получаем окончательное выражение для интенсивности теплоотдачи:
![]() | (171) |
Уравнение (171) представляет собой точное решение уравнения энергии в предположении ламинарности пограничного слоя и градиентном течении во внешнем потоке для граничных условий 3-го рода.
Функция Ф(m,Pr) – рассчитана и табулирована Г.Л. Эвансом и приводится в литературе в виде таблиц и графиков (рис. ХХ).
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 296 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!