Электрические цепи переменного тока 3 страница

Если сила тока и напряжение синусоидальны, т.е. u = U_msin(ωt+φ_u) и i=I_msin(ωt+φ_i), то соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений запишутся так:

= ; =U ; =I_me ; =I .

Отношение комплекса напряжения к комплексу силы тока называется комплексом полного сопротивления, т.е.

, где z - полное сопротивление, или модуль комплекса полного сопротивления; φ=φ_u – φ_i - угол сдвига между вектором напряжения и вектором силы тока.

Следовательно, комплекс полного сопротивления может быть представлен выражением = z e^jφ = z cosφ +jz sinφ = R + jx, где r и x - соответственно активное и реактивное сопротивление.

Резонансные явления в цепях переменного тока

Основные понятия и определения

Под резонансом понимается явление в цепях переменного тока, содержащих элементы индуктивности и емкости, при котором реактивное сопротивление или реактивная проводимость равны нулю. При последовательном соединении элементов индуктивности и емкости явление называется резонансом напряжений, а при параллельном соединении – резонансом токов.

Явление резонанса при последовательном соединении L и С называется резонансом напряжений потому, что при нем напряжения на зажимах элементов индуктивности и емкости могут превосходить, и иногда значительно, напряжение на зажимах всей цепи. Явление резонанса при параллельном соединении L и С называется резонансом токов потому, что при нем силы токов в ветвях с элементами индуктивности и емкости могут превосходить силу тока в неразветвленной части цепи. Эти явления в цепях обусловлены взаимным преобразованием энергий электрического и магнитного полей.

Резонансные цепи весьма широко применяются в электротехнике, они являются неотъемлемой частью ряда радиотехнических устройств и часто используются в автоматике и телемеханики. В то же время явления резонанса в ряде случаев нежелательны. Так, например, явления резонанса, возникающие в электрических цепях и системах, в которых они не предусмотрены, могут вызывать перенапряжения в отдельных элементах, пробой изоляции и другие ненормальные явления.

Резонанс напряжений

Рассмотрим явление резонанса в неразветвленной цепи с сопротивлением, индуктивностью и емкостью (рис.44). Условие резонанса в такой цепи можно записать в следующем виде: x= x_L – x_C =ωL - .

а) б)

Рис.44. Резонансная цепь и ее векторная диаграмма

Для режима резонанса напряжений характерно:

- комплекс полного входного сопротивления электрической цепи

z= R+ j(x_L- x_C) = R достигает минимального значения, равного активному сопротивлению;- комплекс силы тока в цепи =

достигает наибольшего значения и совпадает по фазе с напряжением;

- напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости

U_L = , а так как их фазы противоположны, то они в любой момент времени будут компенсировать друг друга;- реактивные напряжения на индуктивности и емкости U_L = I₀ x_L= U _C= I ₀ x _C=

при резонансе могут быть больше напряжения сети во столько же раз, во сколько каждое из реактивных сопротивлений больше активного сопротивления;

- напряжение на активном сопротивлении U_r = I₀R =

равно напряжению на зажимах цепи. Приведенные соотношения и векторная ж.диаграмма (рис.44) показывают, что цепь при резонансе подобна цепи с элементами активного сопротивления.Угловая частота ω₀ и f₀ при которых наблюдается явление резонанса, называется собственными резонансными частотами. Эти частоты, определяемые из условия резонанса ω²LC=1, соответственно равны: f₀ = . Резонанс в цепи может наступить только при равенстве собственной резонансной частоты и частоты ее источника питания.

Настройку цепи в резонанс можно произвести следующими способами:

а) изменением частоты источника питания, в этом случае резонанс наступает при ω=ω ₀;

б) изменением индуктивности цепи при неизменных ω и С, причем резонанс наступает, когда L= 1/(ω ² С);

в)изменением емкости при неизменных ω и L, причем резонанс наступает тогда, когда С=1/(ω ² L).

Контрольные вопросы

	Как влияет реактивное сопротивление на ток в режиме резонанса?	сильно
совсем не влияет
слабо
	Какие приборы дают возможность зафиксировать режим резонанса напряжения?	Вольтметр и амперметр
амперметр
Вольтметр
Ваттметр
	Где не рекомендуется использовать резонанс напряжения?	Радиотехнике
Электрические измерения
Электроэнергетические системы
	Каково соотношение между напряжениями на индуктивности катушки и конденсаторе в режиме резонанса?	U Lk > U C
U C> U Lk
U Lk= U C
	Условие резонанса в неразветвленной цепи:	X =Х L- X C;
X = ;
X = ;
	Оценить справедливость максимальных значений энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки:

Резонанс токов

Рассмотрим случай параллельного соединения элементов с R,L и C. В такой цепи резонанс токов наступает при условии:

, откуда .

а) б)

Рис. 45. Разветвленная резонансная цепь и ее диаграмма

Для режима резонанса токов характерно:

- комплекс полной входной проводимости электрической цепи

Y =

достигает минимального значения, равного активной проводимости, т.е. входное сопротивление достигает максимума;

- комплекс силы тока в неразветвленной части электрической цепи

= = g

достигает минимального значения и совпадает по фазе с напряжением на входе цепи;

- сила тока в ветви с индуктивностью равна силе тока в ветви с емкостью

,

а так как их фазы противоположны, то они в любой момент времени будут компенсировать друг друга;

- реактивные силы тока ветвей ,

при резонансе могут быть больше силы тока в неразветвленной части цепи во столько раз, во сколько раз каждая из реактивных проводимостей больше активной проводимости;

- активная сила тока ,

т.е. она равна силе тока в неразветвленной части цепи.

Приведенные соотношения и векторная диаграмма показывают, что при резонансе цепь ведет себя подобно цепи с элементами активного сопротивления.

Настройку цепи в резонанс токов, как и в резонансе напряжений, можно производить изменением индуктивности, изменением емкости или изменением частоты. Значения индуктивности, емкости и частоты, при которых наступает резонанс токов, соответственно равны:

C = .

Пример. В разветвленной цепи (рис.46), состоящей из двух параллельных ветвей, в одной из которых имеются R₁ и L, а в другой – R₂ и С, явление резонанса наступает при том же условии, т.е. когда Но поскольку в рассматриваемой цепи реактивные проводимости соответственно равны: ,

то условие резонанса может быть записано так: .

Решая это равенство относительно резонансной частоты, получим:

.

Рис. 46. Смешанная резонансная цепь и ее диаграмма

Из этого выражения можно сделать следующие выводы.

1. Для получения резонанса необходимо, чтобы активные сопротивления ветвей R₁ и R₂ были оба больше или оба меньше волнового сопротивления ρ = . Если же это условие не соблюдается, то получается мнимая частота, т.е. такой частоты не существует, при которой резонанс имел бы место.

2. При равенстве активных сопротивлений ветви и волнового сопротивления, т.е. R₁ = R₂ = ρ, резонанс имеет место при любой частоте, т.е. при всех частотах ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением на зажимах цепи и вся цепь ведет себя, как активное сопротивление.

3. При R₁ = R₂ выражение для резонансной частоты преобразуются к виду , т.е. совпадает с выражением резонансной частоты неразветвленной цепи.

4. При неизменной частоте источника питания резонанс может быть получен путем изменения индуктивности, емкости и активных сопротивлений. Однако изменением какого-либо одного параметра резонанс может быть достигнут не при любых значениях остальных параметров. Так, например, при изменении индуктивности или емкости при определенных соотношениях между остальными параметрами возможен не один, а два резонансных режима. Действительно, если изменяется индуктивность или емкость, то из условия резонанса для индуктивности или емкости получается два значения, и если оба значения вещественные, то каждое из них обеспечивает явление резонанса.

Комплексы сил токов в ветвях резонансного контура определяется по закону Ома:

; .

Комплекс силы тока в неразветвленной части контура при резонансе равен:

Контрольные вопросы

	Катушка c параметрами R k, L k и конденсатор С k образуют последовательный контур, настроенный в резонанс с частотой источника. Будет ли иметь место резонанс токов, если, не меняя параметров цепи и частоту источника, катушку и конденсатор включить параллельно?	Будет
Не будет
Это зависит от соотношения между R k и Х Lk
	Выберите векторную диаграмму, соответствующую данной цепи при резонансе токов
	Как изменяется сопротивление контура Z k при уменьшении сопротивления катушки R k в режиме резонанса?	Уменьшится
Практически не изменится
Увеличивается
	Потребляется ли энергия контуром при резонансе токов, если R k=0?	Да
Нет
Зависит от соотношения между L и С
	Указать условие резонанса тока.	bL = XL/(R2+X2L)>bC=-1/XC
bL = XL/(R2+X2L)=bC=-1/XC
bL = XL/(R2+X2L)=bC= 1/XC
	В цепи имеет место резонанс токов. Амперметры показывают I 2= I 3= 1 А. Определить показания амперметра А1.	I 1 = 2 А
I 1 = A
I 1= 1/2 A

Трехфазные электрические цепи

Трехфазной системой электрических цепей называется совокупность трех электрически связанных однофазных цепей, в которых действуют синусоидальные э.д.с. одинаковой частоты, взаимно сдвинутые по фазе на одну треть периода. Причем каждая отдельная фаза трехфазной системы сокращенно называется фазой.

Совокупность э.д.с. или напряжений, действующих в трехфазной цепи, называется трехфазной системой э.д.с. или напряжений. Совокупность же токов, протекающих в трехфазной цепи, называется трехфазным током или трехфазной системой токов.

Трехфазный ток можно получить от трехфазного генератора. Устройство такого генератора схематически показано на рис.57. Он состоит из двух основных частей: неподвижной части, называемой статором, и вращающейся части, называемой ротором. На статоре уложены три одинаковые фазные обмотки А, В, С, смещенные относительно друг друга на 120⁰. Начала фазных обмоток обозначены А, В, С, а концы – Х, Y, Z. Ротор же представляет собой вращающийся электромагнит, полюса которого имеют специальную форму, благодаря чему магнитная индукция в воздушном зазоре распределяется по синусоидальному закону.

Рис.57. Схема синхронного генератора

Если ротор генератора вращать с постоянной скоростью, то в обмотках статора будут индуцироваться э.д.с. одной и той же частоты, имеющие одинаковые амплитуды, но в соответствии с пространственным расположением обмоток сдвинутые друг относительно друга на угол 120⁰. Если при этом фазные обмотки генератора замкнуть на элементы с одинаковыми по величине и характеру сопротивлениями, то в цепи будут протекать три тока, составляющие симметричную систему токов.

Э.д.с. в фазах генератора называются фазными и обозначаются е_А , е_В , е_С . Приняв за начало отсчета времени момент, при котором э.д.с. фазы А равна нулю, уравнения фазных э.д.с. генератора можно записать в следующем виде:

е_А= Е_msinωt; е_В=Е_msin(ωt -120⁰); е_С =Е_msin(ωt – 240⁰).

Э.д.с., индуцируемые в каждой из фазных обмоток, создадут на концах своих обмоток фазные напряжения. Эти напряжения можно записать в виде следующих уравнений:

u_А= U_m sinωt; u_B=U_msin(ωt -120⁰); u_C = U_msin(ωt – 240⁰).

Соответственно уравнения сил токов в фазах можно записать следующим образом:

i_A =I_m sin(ωt- φ); i_A =I_m sin(ωt-120⁰- φ); i_A =I_m sin(ωt-240⁰- φ).

В символической форме действующие значения указанных величин соответственно запишутся так:

= Ue ^j0; = Ue ^j(-120); = Ue ^j(-240);

= Ee ^j0; = Ee ^j(-120); = Ee ^j(-240);

= Ie ^j(-φ); = Ie ^j(-120—φ); = Ie ^j(-240-φ).

Рис.58. Временная и векторная диаграмма э.д.с. трехфазного генератора

На рис.58 представлены временная и векторная диаграмма трехфазной симметричной системы э.д.с. Такими же диаграммами изображаются симметричные системы токов и напряжений. Из диаграммы видно, что э.д.с. в фазах достигают своих положительных максимальных значений в таком порядке: E _Am→ E _Bm→ E _Cm. Такой порядок чередования называют прямой последовательностью фаз. При обратном вращении ротора генератора получается обратная последовательность фаз E _Am→ E _Сm→ E _Вm. Прямая последовательность фаз считается нормальной.

Одним из важных свойств трехфазных симметричных систем э.д.с., напряжений и токов является то, что сумма мгновенных значений э.д.с., напряжений или сил токов в любой момент времени равна нулю:

e_A+ e_B + e_C = 0; u_A+u_B + u_C = 0; i_A + i_B + i_C = 0.

6.2. Соединение фаз трехфазных цепей

Основными видами соединения фаз трехфазных цепей являются соединения по схеме звезды и по схеме треугольника. При этом фазы генераторов и потребителей можно соединить звездой или треугольником независимо друг от друга, например: генератор может быть соединен звездой, в приемник – треугольником или звездой. В этих схемах за положительное направление э.д.с. и тока в каждой фазе генератора условно принимают направление от конца фазы к ее началу, а в приемнике, наоборот, от начала к концу.

Соединение по схеме звезды

Под соединением звездой понимается такое соединение фаз генератора или потребителя, при котором концы всех фаз соединяются в общую узловую точку, а их начала - с проводами, соединяющими генератор и потребитель. Узловая точка называется нейтральной или нулевой, а провод, соединяющий нулевые точки генератора и потребителя – нулевыми или уравнительными. Провода, соединяющие начала фаз генератора с началом фаз потребителя, называются линейными. Схема звезды с нулевым проводом называется четырехпроводной, а без нулевого провода – трехпроводной. На рис. 59 изображена четырехпроводная схема трехфазной системы.

Напряжения на зажимах фаз генератора или потребителя называются фазными, а напряжения между линейными проводами – линейными. Фазные напряжения обозначаются U _A, U _B, U _C, а линейные напряжения – U _AB, U _BC, U _CA. Токи разделяются также на фазные и линейные. Фазными называются токи, протекающие по фазам, а линейными – по линейным проводам. Фазные силы токов обозначаются I _AB, I _BC, I _CA, а линейные – I _A, I _B, I _C. Находят также применение общие обозначения U _Ф, I _Ф, U _Л, I _Л.

Рис.59. Трехфазная система по схеме звезды

Установим соотношения между фазными и линейными величинами при соединении звездой. Из схемы (рис.59) видно, что при выбранных положительных направлениях токов и напряжений линейные токи равны соответствующим фазным токам, а линейные напряжения согласно второму закону Кирхгофа (u _AB+ u _B– u _C=0) равны разности соответствующих фазных напряжений. Применяя символический метод, получим:

= – ; = – ; = – .

На основании приведенных соотношений на рис.60 построена векторная диаграмма напряжений в соответствии с принятым положительным направлением токов.

Установим соотношение между линейными и фазными напряжениями при соединении звездой. Из полученных на диаграмме треугольников, связывающих фазное и линейное напряжения, имеем , откуда U _л= 2 U _ф или U _л = .

Рис.60. Векторная диаграмма при соединении звездой

Системы фазных и линейных напряжений источников обычно симметричны. Приемники же могут нагружать все фазы равномерно или неравномерно. При равномерной нагрузке фаз тока в нулевом проводе нет и необходимость в таком проводе отпадает. При неравномерной же нагрузке ток в нулевом проводе есть и комплекс его силы равен сумме

= + + .

В этом случае нулевой провод необходим, иначе изменения нагрузки в одной фазе будут приводит к изменению силы тока и напряжения в других фазах, что на практике является нежелательным. Действительно, предположим, что в фазы (рис.61, а) включены лампы одинаковой мощности и что сопротивления фазы А и фазы С одинаковы, а сопротивления фазы В в два раза меньше. Если при этом произошел обрыв нулевого провода, то появится нарушение первого закона Кирхгофа + + = 0 для трехпроводной системы, образовавшейся после обрыва нулевого провода. Это нарушение восстанавливается путем изменения , , , а это обеспечивается соответствующим изменением , , . В результате происходит изменение угла сдвига между , , и, как следствие, смещение нулевой точки по линии вектора фазного напряжения (рис.61, б).