Электрические цепи переменного тока 1 страница

Основные понятия и определения переменного тока

В технике переменным током называют ток, периодически изменяющийся по величине и направлению, причем среднее значение этого тока за период равно нулю (рис.26).

Рис. 26. Кривая изменения синусоидального тока

Периодическим переменный ток является потому, что спустя некоторое время, называемое периодом Т, изменения тока повторяются. Полный круг изменений переменного тока называется циклом. Следовательно, период есть длительность одного цикла. Число циклов в секунду называется частотой. Эта величина обратна периоду и измеряется в герцах:

f = 1/Т [Гц ].

Для энергетических установок (в частности, всех электростанций) в России и в большинстве стран мира принята частота 50 Гц. Легко указать причины такого выбора. Понижение частоты неприемлемо, так как уже при частоте 40 Гц лампы накаливания мигают заметно для глаза. Повышение частоты нежелательно, так как пропорционально частоте растет э.д.с. самоиндукции, существенно мешающая передаче энергии по проводам. Для специальных технических целей применяются токи самых различных частот – от 50 Гц до 50 мГц. Важно отметить, что переменный ток периодически изменяет не только величину, но и направление. Значения переменного тока, напряжения и э.д.с. в какой — нибудь момент времени называются мгновенными значениями и обозначаются i, u, e. Наибольшие из мгновенных значений периодически изменяющихся токов, напряжений и э.д.с. называются максимальными или амплитудными значениями и обозначаются I _m, U _m, E _m.

Простейшей формой периодического процесса является гармоническое синусоидальное колебание. В технике сильных токов стремятся всегда получить э.д.с. и ток синусоидальной формы, так как любая другая форма вредно отражается на работе сетей, многих машин и аппаратов из - за высших гармоник. Кроме того, расчет цепей синусоидального тока относительно прост, т.к. синусоида достаточно изучена. В специальных цепях переменного тока применяются несинусоидальные токи (импульсная техника). Переменный ток промышленной частоты получают при помощи генераторов переменного тока, так называемых синхронных генераторов. В общем случае синусоидальные электрические величины, например напряжение и сила тока, определяются выражениями:

u = U_m Sin(ωt +φ_u); i =I_m Sin(ωt +φ_i).

В этих уравнениях угол (ωt+φ_u) называется фазой, а угол φ —начальной фазой. Фазовый угол в течении одного периода Т изменяется на 2π, следовательно, ωТ=2π, откуда ω f. Величина ω, пропорциональная частоте f, называется угловой частотой. Она измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Фаза определяет значение величины в данный момент времени t, а начальная фаза — при t= 0. Начальная фаза может быть φ = 0 или φ >0. На рис.27 изображены графики синусоидальных напряжений и токов, имеющих различные начальные фазы.

Разность фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты называется углом сдвига фаз, или сдвигом фаз. Сдвиг фаз между напряжением и током обозначается и согласно определению равен φ = (ωt + φ_u) - (ωt + φ_i) = φ_u – φ_i,т.е. сдвиг фаз есть алгебраическая разность начальных фаз синусоидальных величин одинаковой частоты.

а) б) в)

Рис.27. К определению фазы и сдвига фаз

Если синусоидальные величины имеют одинаковые фазы, то они совпадают по фазе (рис.27, а), т.е. достигают своих нулевых и амплитудных значений одновременно. Наоборот, если изменение одной из величин наступает раньше или позже соответствующих изменений другой (рис.27, б и в), то фазы этих величин различны и между ними существует сдвиг. Если разность фаз равна ±π, то говорят, что переменные величины имеют противоположные фазы.

Действующие и средние значения силы переменного тока и напряжения

Действующим значением силы переменного тока называют его среднее квадратичное значение за период. Это значение представляет собой такую постоянную силу тока, которая по тепловому действию эквивалентна рассматриваемой силе переменного тока.

Согласно закону Джоуля - Ленца количество тепла, выделяемое постоянным током силой I и переменным током силой i в одном и том же элементе с сопротивлением г за период переменного тока Т, соответственно равно: Q_{_} = kI²RT; Q_~ = k . Приравнивая Q_- = Q_~ и производя преобразования, получим действующее значение силы переменного тока: I= . Соотношение между действующим значением силы синусоидального тока и его амплитудой, если i= I_msinωt, определится выражением:

I= ,

т.к. второй интеграл равен нулю. Аналогично находятся действующие значения синусоидальных э.д.с. и напряжения:

E= ; U= .

Графически действующее значение синусоидального тока изображено на рис.18.

Средним значением силы переменного тока называют среднее арифметичёское значение из всех мгновенных значений за положительный полупериод. Соотношение между средним значением I_ср переменного тока и его амплитудой I_m определяется следующим образом:

I_ср= = .

Аналогично получим выражения для средних значений напряжения и э.д.с.:

U_ср = E_ср = .

Рис. 28. Действующее значение синусоидального тока

Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы переменной величины. Так, в частности, для синусоидального тока получим: k_ф = .

Векторные и временные диаграммы

Синусоидальные величины можно изображать вращающимися векторами. При этом длина вектора в определенном масштабе представляет амплитуду (рис.29, а), угол, образованный вектором с осью абсцисс,— фазовый угол (ωt+φ), а проекции вращающегося вектора на ось ординат — мгновенные значения переменной величины.

Совокупность нескольких векторов, изображающих синусоидальные величины одинаковой частоты и построенных с соблюдением правильной их ориентировки относительно друг друга, называется векторной диаграммой. На рис.29, б в качестве примера приведена векторная диаграмма сил токов, определяемых следующими уравнениями:

i₃ = I_3m sin ωt; i₂ = I_2m (sin ωt -25⁰); i₁ = I_1m sin(ωt+70⁰).

Векторные диаграммы позволяют быстро и просто производить графическое сложение и вычитание однородных синусоидальных величин одинаковой частоты, имеющих как различные начальные фазы, так и различные амплитуды. Векторной диаграммой пользуются также для наглядного изображения сдвига фаз между двумя неоднородными переменными величинами (рис.29, б) одинаковой частоты.

а) б) в)

Рис. 29. Векторные диаграммы

При анализе наряду с векторными диаграммами широко применяются временные диаграммы, которые представляют собой совокупность кривых, изображающих изменения во времени синусоидальных величин. Эти диаграммы также позволяют производить графическое сложение однородных переменных величин путем алгебраического суммирования их ординатных отрезков.

Неразветвленные электрические цепи

Неразветвленной цепью переменного тока является цепь, содержащая элемент с активным сопротивлением, или индуктивностью, или емкостью и цепь, имеющая последовательное соединение этих элементов.

Цепь с активным сопротивлением

Цепь переменного тока с активным сопротивлением изображена на рис.30, а. Если такую цепь включить под синусоидальное напряжение и=U_msinωt,.то сила тока, в ней определяется закону Ома: i = , где I_m = - амплитуда силы тока. Из выражений и = U_msinωt и i= I_msinωt видно, что в цепи, имеющей только активное сопротивление, напряжение и ток совпадают по фазе. Это наглядно показывают временная (рис.30, б) и векторная (рис.30, в) диаграммы.

а) б) в)

Рис.30. Цепь с активным сопротивлением и ее диаграмма

Ток, протекающий по цепи с, принято называть активным током, а произведение iR = u_r — активным падением напряжения.

Цепь с индуктивностью

Переменный ток в цепи с индуктивностью (рис.31, а) вызывает в ней э.д.с. самоиндукции е_L, которая согласно закону Ленца противодействует изменению тока. Если ток в цепи синусоидальный i= I_msinωt, то э.д.с. самоиндукции будет:

.

Обозначив ωLI_m=E_Lm и переходя от косинуса к синусу, получим е_L=E_Lmsin(ωt –π/2).

Очевидно, чтобы в цепи протекал ток, необходимо подать на зажимы цепи напряжение, уравновешивающее э.д.с. самоиндукции, равное по величине и противоположное ей по знаку. Это напряжение обозначается u_L и называется индуктивным напряжением: u_L= -e_L = - ωLI_msin(ωt-π/2) = U_Lmsin(ωt+π/2),

где U_Lm=ωLI_m - амплитуда индуктивного напряжения.

Для действующих значений индуктивного напряжения и силы тока можно записать выражение: U_L= IωL= Ix_L; I = .

а) б) в)

Рис.31. Цепь с индуктивностью и ее диаграмма.

Величина x_L =ωL=2πfL, имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением. Это сопротивление представляет расчетную величину, с помощью которой учитывается влияние э.д.с. самоиндукции на ток в цепи.

Из выражений видно, что в цепи имеющей индуктивность, индуктивное сопротивление опережает ток на четверть периода, а э.д.с. самоиндукции отстает от тока на четверть периода; индуктивное напряжение и э.д.с. самоиндукции находятся в противофазе.

Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью

Цепь переменного тока с элементами активного сопротивления r и индуктивностью L, соединенными последовательно, изображена на рис.32. Сила тока i в такой цепи зависит от приложенного напряжения u, э.д.с. самоиндукции e_L, которая возникает в цепи, и активного сопротивления r. Поэтому уравнение электрического равновесия, написанное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:

u= u_R + (-e_L)= iR +Ldi/dt.

Если по цепи протекает синусоидальный ток i=I_msinωt, то, как установлено выше, напряжение u_R на сопротивлении r совпадает по фазе с током, а напряжение u_L на индуктивности L опережает ток на π/2. Следовательно, напряжение на зажимах всей цепи будет равно:

.

Для сложения этих синусоидальных напряжений воспользуемся графическим методом. Принимая за исходную кривую тока (рис.32) и производя сложение ординат кривых u_R и u_L получим u =U_m sin (ωt+φ_u) = U_msin(ωt+φ), т.к. φ_i = 0 и, следовательно, φ_u =φ.

а) б) г)

Рис.32. Неразветленнная цепь с r, L и ее диаграммы

Таким образом, падения напряжения на участках цепи и напряжение u на зажимах цепи также изменяется по закону синуса, причем напряжение u опережает ток i на угол φ. Поскольку напряжения и ток синусоидальны, то на основании уравнения для мгновенных значений напряжений можно написать уравнение для векторов действующих значений напряжений Ū=Ū_r+Ū_L=Īr+Īx_L.

Это геометрическое суммирование произведено на векторной диаграмме (рис.32). Принимая за исходный вектор силы тока Ī, откладывая вектор Ū_r=ĪR по направлению вектора тока, а вектор Ū_L= Īx_L под углом π/2 в сторону опережения вектора тока. Геометрическая сумма этих векторов равна вектору приложенного напряжения Ū. Такую диаграмму называют треугольником напряжений. Из этого треугольника имеем: U² = I²R² + I²x_L².

Решая это уравнение относительно силы тока I, получим .

Это соотношение выражает закон Ома для действующих значений, а входящая в его состав величина z= , имеющая размерность сопротивления, называется полным сопротивлением неразветвленной цепи с сопротивлением и индуктивностью.

Если все стороны треугольника напряжений уменьшить в I раз, то получим треугольник сопротивлений (рис.32). Угол сдвига между током и напряжением можно найти из треугольника напряжений или треугольника сопротивлений по формуле:

φ = . Сдвиг по фазе между напряжением и током, обусловленный индуктивностью принято считать положительным.

Цепь с емкостью

Цепь переменного тока с емкостью С показана на рис.33. Если на зажимы такой цепи подать синусоидальное напряжение u= U_msinωt, то при увеличении напряжения элемент емкости (конденсатор) будет заряжаться, а при уменьшении – разряжаться. В результате на обкладках конденсатора будет происходить изменение заряда со скоростью i= , где u_c – напряжение на зажимах конденсатора, называемое емкостным напряжением.

а) б) в)

Рис.33. Цепь с емкостью и ее диаграммы

При этом во внешней по отношению к конденсатору части цепи происходит движение электронов (ток проводимости), а в конденсаторе вследствие поляризации и деполяризации диэлектрика возникает ток смещения, равный току проводимости. Электрическая цепь оказывается непрерывной.

Поскольку напряжение на зажимах конденсатора изменяется по синусоидальному закону u = U_cmsinωt = u_c = U_Cmsinωt, то сила тока в цепи i, содержащей емкость, будет:

i=Cdu_c/dt= ωCU_mcosωt = I_msin(ωt+π/2),где I_m = ωCU_Cm – амплитуда силы тока.

Действующие значения силы тока и напряжения связаны между собой уравнением закона Ома:

. Величина х_с = 1/(ωC)= fC, имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Это сопротивление представляет собой расчетную величину, с помощью которой учитывается влияние изменения электрического поля конденсатора на ток цепи. Другими словами, емкостное сопротивление отражает в расчете противодействие конденсатора току в цепи.Сопоставление уравнений u_c=U_Cmsinωt и i=I_msin(ωt+π/2) показывает, что в цепи с емкостью напряжение отстает от тока на четверть периода.

Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Цепь переменного тока с элементами активного сопротивления r и емкости С, соединенными последовательно, изображена на рис.34. Сила тока i в такой цепи зависит от приложенного напряжения u, напряжения u_c = , которое создается на емкости С, и сопротивления r. Поэтому уравнение электрического равновесия цепи согласно второму закону Кирхгофа имеет вид:

u = u_R + u_c = iR + .

а) б) г)

Рис.34. Цепь с активным сопротивлением и емкостью

Если по цепи проходит синусоидальный ток, то напряжение u_r на сопротивлении r совпадает по фазе с током, а напряжение u_c на емкости С отстает от тока на четверть периода:

U_R= I_mrsinωt=U_rmsinωt;

u _c = .

Следовательно, напряжение на зажимах всей цепи равно:

u = U_rm sinωt + U_Cmsin(ωt-π/2).

Произведя сложение мгновенных значений этих напряжений графически (рис.34, б), найдем u=U_msin(ωt-φ_u) = U_msin(ωt-φ),

т.к. φ_i =0 и, следовательно, φ_u=φ.

Таким образом, падения напряжения на участках цепи и напряжения на зажимах всей цепи изменяются по синусоидальному закону. Поэтому можно написать уравнение электрического равновесия для векторов их действующих значений напряжений: Ū=Ū_r +Ū_c = ĪR+Īx_c. Это суммирование векторов произведено на диаграмме напряжений (рис.34, в), из которой имеем U² =I²R² + I²(. Решая это равенство относительно силы тока в цепи, найдем:

.

Это уравнение выражает закон Ома для цепи с активным сопротивлением и емкостью, а величина z= является ее полным сопротивлением. Уменьшив все стороны треугольника напряжений в I раз, получим треугольник сопротивления (рис.24, г) из которого находится угол сдвига между напряжением и током: φ=arcsin = . Cдвиг по фазе между напряжением и током, обусловленный емкостью, принято считать отрицательным.

Цепь с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью

Цепь переменного тока с элементами активного сопротивления r, индуктивности L и емкости С, соединенными последовательно, изображена на рис.35. Сила тока i в такой цепи зависит от приложенного напряжения u, индуктивного u_L и емкостного u_c напряжений, возникающих в цепи, и активного сопротивления r. Поэтому уравнение электрического равновесия цепи, написанное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:

u =u_R +u_L + u_c = iR + .

Если сила тока в цепи i=I_msinωt, то, как установлено ранее, напряжения на отдельных элементах цепи определяются следующим образом:

u_r= RI_msinωt; u_L=ωLI_msin(ωt+π/2); u_c = .

Найдем мгновенное значение входного наряжения:

u = U_{R m}sinωt +U_Lm sin(ωt+π/2) +U_Cm sin(ωt- π/2).

Поскольку напряжения u_L и u_c сдвинуты относительно друг друга на угол π, то их сумма, называется реактивным напряжением, определится равенством:

u_р = U_Lm sin(ωt+π/2)+ U_Cm sin(ωt- π/2)=(U_Lm- U_Cm) sin(ωt+π/2)=U_рm sin(ωt+π/2).

При этом возможны три характерных случая: когда U_Lm> U_Cm их разность положительна, когда U_Lm< U_Cm их разность отрицательна, а когда U_Lm= U_Cm их разность равна нулю.Напряжение на зажимах всей цепи выразится формулой:

u= U_{R m}sinωt + U_рm sin(ωt+π/2).

а) б)

Рис. 35. Неразветвленная цепь с R, L, C и ее диаграмма

Произведя сложение этих напряжений графически (рис.35, б) для случая U_Lm> U_Cm и учитывая, что φ_i =0 и φ_u=φ, получим:

u= U_m sin(ωt+ φ_u)= U_m sin(ωt+ φ).

Поскольку ток и напряжение синусоидальны, то действующее значение напряжения на зажимах цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа определится геометрической суммой Ū=Ū_r +Ū_L + Ū_c.

На рис.36 изображены векторные диаграммы при U_L> U_C и U_L< U_C. При U_L= U_C вектор напряжения совпадает по фазе с вектором тока. Действующее реактивное напряжение U_р определится алгебраической суммой:

U_р = U_L – U_C = IωL - = I(ωL - ) =Ix.

Величина (ωL- )=х_L –x_C =x называется реактивным сопротивлением. Эта алгебраическая величина, которая при х_L>x_C положительна, при х_L<x_C - отрицательна, а при х_L=x_C равна нулю.

Рис. 36. Векторные диаграммы цепи с R, L, C

Из векторных диаграмм напряжений (рис.36) находим составляющие напряжения U_r=Ucosφ и U_р= Usinφ, а также силу тока в цепи:

I= .

В этом уравнении, представляющем собой закон Ома, величина z= является полным сопротивлением.

Сдвиг по фазе между током и напряжением определится (рис.36) выражением:

φ=arctg .

В зависимости от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений разность фаз напряжения и тока может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

В общем случае для n последовательно соединенных потребителей, каждый из которых обладает активным и реактивным сопротивлением, можно написать:

U_r = где R = ; U_р = где х= ;

U = , где z = .

В этих выражениях активная составляющая общего напряжения равна арифметической сумме активных составляющих напряжений всех участков, а реактивная составляющая алгебраической сумме реактивных составляющих напряжений всех участков. Соответственно активное сопротивление цепи равно арифметической сумме активных сопротивлений всех участков, а реактивное — алгебраической сумме реактивных сопротивлений всех участков.

Контрольные вопросы

	В цепи с активным сопротивлением энергия источника преобразуется	Тепловую
Электрического поля
Магнитного поля
Магнитного, электрического полей и тепловую
	Напряжение на зажимах цепи с активным сопротивлением изменяется по закону u= 220 sin (314t + 45 0). Определить закон изменения тока в цепи, R=100 Ом.	i=2,2 sin(314t+00)
i=2,0 sin(314t+450)
i=2,2 sin(314t+450)
	Напряжение на зажимах цепи u=284sin(314t+00). Определить показание амперметра и вольтметра, если в цепь включена электроплитка Р = 400 Вт.	U=284 В, I = 2 A.
U =200 B, I = 2 A
U = 200 B, I = 1 A
	Укажите параметр переменного тока, от которого зависит индуктивное сопротивление катушки.	Период переменного тока
Действующего значения напряжения
Фаза напряжения φ
	Оказывает ли индуктивная катушка сопротивление постоянному току, если R k=0?	Оказывает
Не оказывает
	К катушке, индуктивность которой L=0,01 Гн и сопротивление R= 15 Ом, приложено синусоидальное напряжение частотой f= 50 Гц и действующим значением U=82 B. Определить действующее значение тока и его изменение во времени, если φ u =0.	i=15sin(314t+320)
i=24sin(314t+640)
i=35sin(314t+640)
	Как изменятся напряжения на участках цепи, если в катушку ввести ферромагнитный сердечник при условии, что U = const?	Напряжения не изменятся
Напряжение U L увеличится, напряжение U R уменьшится
Напряжение U L уменьшится, напряжение U R увеличится
	Как изменятся напряжения на участках цепи при выключении одной из ламп?	Напряжения не изменятся
Напряжение U R уменьшится, напряжение U L увеличится
Напряжение U R увеличится, напряжение U L уменьшится
	Как изменится сдвиг фаз φ между напряжением и током, если R и Х L цепи увеличатся в 2 раза?	Уменьшится в 2 раза
Останется неизменным
Увеличится в 2 раза
	В приведенной схеме U = 220 B; R=10 Ом; X L= 5 Ом; X С= 2 Ом. Как изменится активная и реактивная мощности при замыкании ключа?	Активная мощность увеличится, реактивная уменьшится
Активная мощность уменьшится, реактивная увеличится
Активная и реактивная мощность не изменятся