Электрические цепи переменного тока 2 страница

Цепи с параллельным соединением элементов

Параллельное соединение элементов R, L, C

Цепь, состоящая из элементов активного сопротивления r, индуктивности L и емкости С, соединенных параллельно, изображена на рис.37, а.

а) б)

Рис.37. Цепь с параллельным соединением R, L, C и ее диаграмма

Если такую цепь включить под синусоидальное напряжение u=U_msinωt, то сила тока в каждой из ветвей соответственно определится:

i_r= ; i_L= ;

i_c= . Для данной цепи называются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями ветвей и обозначаются g, b_L, b_c. C учетом этих обозначений уравнения для сил токов в ветвях примут вид:

i_r=gU_msinωt =I_{r m} sinωt, i_L=b_LU_m sin(ωt- π/2)=I_Lm sin(ωt- π/2), i_c=b_c U_m sin(ωt+ π/2)= I_cm sin(ωt+π/2).

Сила тока i_r называется активной, i_L — индуктивной, а i_c - емкостной. Активный ток, как видно из уравнения, совпадает по фазе с напряжением, индуктивный отстает от напряжения на угол π/2, а емкостный опережает напряжение на угол π/2.

В неразветвленной части цепи сила тока определяется по первому закону Кирхгофа:

i=i_r +i_L+i_c = ,

или: i= I_rm sinωt+ I_Lm sin(ωt- π/2)+ I_cm sin(ωt+π/2.

Так как i_L и i_c сдвинуты относительно друг друга на угол π, то их сумма, называемая реактивной силой тока, определится равенством:

i_p= I_Lm sin(ωt- π/2+ I_cm sin(ωt-+π/2 =(I_Lm- I_cm) sin(ωt- π/2)= I _pm sin(ωt- π/2).

При этом возможны три характерных случая: когда I_Lm> I_cm, их разность положительна, когда I_Lm< I_cm, их разность отрицательна, а когда I_Lm=I_cm, их разность равна нулю.

Сила тока в неразветвленной части цепи определится суммой активной и реактивной сил токов: i=I_rmsinωt+ I _pm sin(ωt- π/2).

Производя графическое сложение этих сил токов для случая I_Lm> I_cm, найдем:

i=I_msin(ωt+ψ)= I_msin(ωt-φ),

т. к. φ_u=0 и, следовательно, φ_i= φ_u- φ= - φ.

Действующее значение силы тока в неразветвленной части цепи согласно первому закону Кирхгофа определится геометрической суммой:

Ī=Ī_R +Ī_L+Ī_c.

Эту сумму можно найти, применяя векторную диаграмму токов, называемую обычно треугольником токов. На рис.38, а изображены векторные диаграммы сил токов при I_L>I_C и I_L<I_C. При I_L=I_C вектор силы тока совпадает по фазе с вектором напряжения.

Действующее значение реактивной силы тока I_р определится алгебраической суммой:

I_p=I_L – I_C = b_LU – b_CU = (b_L – b_C)U= bU.

В этом уравнении b=b_L – b_C - называется реактивной проводимостью. Эта алгебраическая величина, которая при b_L>b_C – положительна, при b_L<b_C – отрицательна, а при b_L= b_C – равна нулю.

Из векторных диаграмм токов (рис.38, а) имеем:

I= ,

где у = - полная проводимость цепи.

Уменьшив величины каждой стороны треугольника токов на величину напряжения U, получим треугольник проводимостей (рис.38, б), подобный треугольнику токов. Сдвиг по фазе между напряжением и током находим из треугольников токов и проводимостей: φ= arctg . В зависимости от того, какая проводимость преобладает в цепи – индуктивность или емкостная, разность фаз напряжения и силы тока будет положительной или отрицательной. При b_L>b_C разность фаз φ>0 и напряжение опережает ток, если b_L<b_C, то φ<0 и ток опережает напряжение. При b=0 разность фаз напряжения и тока равна нулю.

а) б) г)

Рис.38. Треугольники токов и проводимостей цепи с параллельным соединением r, L, C

Параллельное соединение приемников

Практически любой приемник электроэнергии может иметь два или все три параметра одновременно. На рис.39, а представлена цепь из двух параллельных ветвей, в одной из которых имеются активное сопротивление и индуктивность, а в другой – активное сопротивление и емкость. Если такую цепь включить под синусоидальное напряжение u=U_m sinωt, то силы токов в параллельных ветвях будут равны:

i ₁ = I_1msin(ωt- φ₁); i₂= I_2msin(ωt- φ₂).

Действующие значения этих сил токов определяются по закону Ома:

I ₁ = .

Активные и реактивные составляющие сил токов ветвей будут равны:

I_{r 1} = I₁cos φ ₁= I_r2=I₂cos φ₂ = U;

I_{p 1} =I ₁ sin φ ₁ = ; I_p2=I₂sin φ₂ = .

а) б)

Рис.39. Разветвленная цепь и ее диаграмма

Составляющие и полная сила тока неразветвленной части цепи соответственно запишутся:

I_r=I_{r 1} +I_r2=g ₁ U+g₂U, I_p=I_{p 1} +I_p2=b ₁ U+b₂U, I= .

Векторная диаграмма сил токов (рис.39, б) рассматриваемой цепи построена для частного случая, b₁>b₂. Из диаграммы находим φ=arcos

Контрольные вопросы

	Какой цепи соответствует векторная диаграмма?
	Как изменятся показания ваттметра и амперметра при размыкании ключа K, если Х с = Х L?	Показания обоих приборов увеличатся
Показания обоих приборов уменьшатся
Показания амперметра уменьшится, показания ваттметра не изменится
Показания амперметра увеличится, показания ваттметра не изменится
	При частоте источника питания f1 = 50Гц R 1= R 2= 2 Ом. Как изменится активная проводимость G э= g 1+ g 2 цепи при увеличении частоты источника f1= 60 Гц?	Уменьшится
Увеличится
Не изменится
	При каком условии цепи будут эквивалентны, т.е. когда i1=i2 при u 1 = u 2?	R 1= R 2; Х L1= Х L2
R 2= (R 21+ Х 2L1)/ R 1; Х L2= (R 21+ Х 2L1)/ Х 1
	Для цепи синусоидального тока не может иметь место векторная диаграмма

Мощности цепей переменного тока

В цепях переменного тока периодические изменения напряжения и тока создают периодические изменения мощности цепей. Периодически изменяющаяся мощность – мало удобная величина для характеристики энергетического состояния цепей. В связи с этим в цепях переменного тока вводят несколько понятий мощности: мгновенная, активная, реактивная, полная.

Мгновенная мощность электрических цепей

Под мгновенной мощностью понимается произведение мгновенных значений напряжения и силы тока, т.е. р=ui. В цепи с активным сопротивлением при синусоидальных значениях u_R =U_msinωt и i=I_msinωt мгновенная мощность определяется уравнением:

P_R = u_ri =U_msinωt I_msinωt =2Uisin²ωt = 2UI .

Отсюда видно, что мгновенная мощность в цепи с сопротивлением R, имея независимую от времени постоянную составляющую UI и переменную составляющую UIcos2ωt, изменяется с двойной частотой (рис.40, а) около среднего значения, равного UI, оставаясь все время положительной. С физической точки зрения это означает, что при прохождении тока в цепи независимо от его направления энергия поступает от источника в цепь и в ней рассеивается, т.е. имеет место необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую или другого вида энергию. Мгновенная мощность определяет скорость этого процесса.

В цепях с индуктивностью при синусоидальных значениях напряжения и силы тока мгновенная мощность равна:

p_L=u_L i= U_m sin(ωt+π/2)I_m sinωt = 2UIcosωt sinωt= U I sin2ωt.

Рис. 40. Графики мгновенных мощностей в цепях переменного тока

Отсюда следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной угловой частотой (рис.40, б), достигая в течении периода два раза положительного и два раза отрицательного максимума UI. Это означает, что в течение периода энергия два раза поступает от источника в цепь и два раза возвращается из цепи обратно к источнику. Другими словами, энергетический процесс в рассматриваемой цепи состоит лишь в обмене энергией между источником и цепью. Энергия же при этом не расходуется.

В цепи с емкостью при синусоидальных значениях напряжения и тока мгновенная мощность равна:

p_c=u_c i= U_msin(ωt-π/2)I_msinωt=-2UI cosωt sinωt= -U I sin2ωt.

Как видно, мгновенная мощность также изменяется с двойной угловой частотой (рис.40, в), достигая в течение периода два раза положительного и два раза отрицательного максимума UI. Это значит, что энергетический процесс в цепи с емкостью, как и в цепи с индуктивностью, состоит в обмене энергией между источником и цепью.

Мгновенная мощность в цепях, содержащих активные и реактивные параметры, например сопротивление и индуктивность или сопротивление и емкость, при синусоидальных значениях тока и напряжения определяется уравнением:

p=u i=U_msinωt I_msin(ωt- φ)= 2Uicosφ sin²ωt – UI sin φ sin2 ωt.

Из этого выражения видно, что мгновенная мощность в таких цепях имеет две составляющие: одну, изменяющуюся по закону квадрата синуса, и другую, изменяющуюся по синусоидальному закону с двойной частотой. Очевидно, что первая составляющая характеризует необратимое преобразование электрической энергии, а вторая – процесс периодического обмена энергией между источником и цепью. В целом же мгновенная мощность, как следует из графика на рис.41, изменяется периодически как по величине, так и по знаку. В данном частном случае положительная часть кривой имеет большую площадь, чем отрицательная. Это означает, что в цепь от источника поступает больше энергии, чем возвращается цепью источнику.

Таким образом, энергия, получаемая активным сопротивлением цепи, расходуется в нем, а энергия, получаемая реактивным сопротивлением цепи, не расходуется, а только колеблется с двойной частотой между источником и цепью.

Рис.41. Графики мощностей R, L и r, C

Активная и реактивная мощности цепей

Под активной мощностью понимается среднее значение мгновенной мощности за период:

P= .

Если напряжение u=U_msinωt и сила тока i= I_msin(ωt- φ), то мгновенная мощность будет равн p= ui= U_msinωtI_msin (ωt-φ)=

=2UI[ .

Тогда активная мощность: P= .

Второй интеграл за период равен нулю. Поэтому активная мощность в цепи при синусоидальном процессе будет:

P= φdt = UI cosφ. Множитель cosφ, входящий в формулу активной мощности, называется коэффициентом мощности. Так как cosφ изменяется от 1 (при φ=0) до 0 (при φ=π/2), то активная мощность будет изменяться от P=UI до нуля. С энергетической точки зрения cosφ характеризует степень использования энергетической установки. Чем меньше cosφ, тем хуже используется энергетическая установка.

Активная мощность, учитывая, что U=Iz, zcosφ=r и , может быть представлена: P =I²z cosφ= I²r= U²уcosφ=gU². Основной единицей измерения активной мощности является ватт(Вт), а кратными - киловатт(кВт) и мегаватт (МВт).

Реактивной мощностью называется величина, определяющая наибольшую скорость изменения электрического и магнитного полей, т.е.: Q= U I sinφ.

Среднее значение этой мощности за период равно нулю. Реактивная мощность, учитывая, что U=Iz, zsinφ=x и = b, может быть представлена следующими выражениями: Q=I²zsinφ = I²x= U²у sinφ = bU². Реактивная мощность может быть положительной, когда нагрузка индуктивная и ток отстающий, и отрицательной, когда нагрузка емкостная и ток опережающий. Основной единицей измерения реактивной мощности является вольт-ампер реактивный (Вр), а кратными – кВАр и МВАр.

Полная мощность электрических цепей

Под полной мощностью понимается произведение действующих значений тока и напряжения. Эта мощность является расчетной величиной. Полная мощность, учитывая, что U=Iz, у =1/z, может быть представлена следующими соотношениями:

S= U I= z I² = уU². Полная мощность связана с активной и реактивной мощностями соотношением: S = . Основной единицей измерения полной мощности является вольт-ампер (ВА), а кратными кВА и мВА.

Коэффициент мощности cosφ и методы его повышения

Коэффициент мощности является очень важным энергетическим фактором, что видно из следующего примера. Если активная мощность передается при cosφ = 1, то ток в цепи равен I = . Если же активная мощность передается при cosφ = 0,5, то I = , т.е. ток по сравнению с первым случаем увеличивается в два раза.

Современные потребители переменного тока (электродвигатели, трансформаторы и т.п.) создают в электрических цепях сдвиг тока по фазе относительно напряжения в сторону отставания на угол φ < 90°, т.е. создаются условия, когда 0< cosφ <1

Это обстоятельство приводит к последствиям, имеющим большое энергосберегающее значение.

1. Приведенный пример показывает, что при данной активной мощности ток будет тем больше, чем меньше cosφ. Обмотки генераторов рассчитаны на ток определенной величины, поэтому загрузка их реактивной мощностью, т.е. работа при низких значениях cosφ, снижает отдачу активной мощности. А так как первичные двигатели генераторов воспринимают только активную мощность генераторов, то при снижении cosφ мощность их не может быть использована полностью. Другими словами, снижение cosφ приводит к уменьшению реальной полезной мощности электростанций, что крайне нежелательно.

2. Снижение cosφ ограничивает пропускную способность электрических сетей, так как она определяется максимально допустимой величиной тока. Для передачи необходимой активной мощности при низком cosφ требуются провода большего сечения, больший расход материалов, большие капитальные затраты.

3. IIовышение величины тока в генераторах и сетях ведет к существенному увеличению потерь энергии на нагрев проводов (Q=I²Rt) и к увеличению падения напряжения в линиях передачи (ΔU=IZ), т.е. к снижению напряжения на концах линии передачи. Поддержание напряжения на должном уровне требует дополнительных капиталовложений.

Изложенное говорит о необходимости принятия мер по повышению cosφ, что достигается следующим образом:

— правильным выбором мощности электродвигателей и трансформаторов; cosφ электродвигателей и трансформаторов при номинальной нагрузке бывает порядка 0,8 — 0,9, а при снижении нагрузки резко уменьшается, что приводит к снижению cosφ в электроэнергетических системах;

— искусственным повышением соsφ с помощью специальных установок, компенсирующих сдвиг фаз; это достигается включением в сеть какой-либо емкости — батарей конденсаторов или специальных синхронных двигателей, работающих вхолостую и создающих емкостный ток.

Компенсация сдвига фаз с помощью емкости основана на резонансных явлениях.

Ток I,потребляемый основными приемниками (на схеме рис.42 показано эквивалентное сопротивление многих приемников), отстает по фазе от напряжения на угол φ ₁. Ток конденсаторов I _c опережает напряжение на угол л/2. Суммарный ток I, забираемый от генератора и протекающий по линии, равен геометрической сумме I ₁ и I _c т.е. I меньше, чем I _1, угол φ близок к нулю, следовательно, соsφ близок к единице.

а) б)

Рис. 42. Схема (а) и векторная диаграмма (б) компенсации сдвига фаз

Необходимо помнить, что физический смысл такого повышения соsφ и уменьшения суммарного тока заключается во взаимной компенсации потоков реактивной энергии, вызываемых колебательными процессами в индуктивности и емкости.

Опыт эксплуатации установок для повышения соsφ показывает их несомненную технико - экономическую эффективность.

Контрольные вопросы

	Какое из приведенных выражений неправильно определяет cosφ приемника энергии?	g/Y
R/Z
P/S
Q/S
	Какая из приведенных схем увеличения cosφ является рациональной?	Схема а)
Схема б)
Обе схемы
	У приемника энергии U пр= 220 В; I= 100 A; cosφ = / 2; R 1=0, 1 Ом. Определить потери мощности в линии, обусловленные реактивным током приемника.	1000 Вт
750 Вт
250 Вт
	Рассчитать емкость конденсатора, обуславливающую полную компенсацию реактивной энергии для случая, рассмотренного в предыдущем вопросе.	1600 мкФ
1200 мкФ
	В чем заключается физический смысл повышения cosφ?	Взаимная компенсация потоков реактивной энергии
Изменением потребления энергии потребителем
	Будет ли ваттметр, включенный так, как показано на схеме, регистрировать потерю активной мощности в линии?	Будет
Не будет

Символический метод расчета электрических цепей

Методы расчета электрических цепей переменного тока посредством алгебраических действий над синусоидальными функциями времени или геометрических операций над изображающими их векторами, громоздки. Поэтому в электротехнике широко применяется так называемый символический, или комплексный метод расчета цепей переменного тока, основанный на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами. Такое изображение позволяет уравнения для любой цепи, составленные на основании законов Кирхгофа, решать алгебраические, аналогично уравнениям для цепей постоянного тока.

Применение символического метода значительно упрощает расчеты цепей переменного тока, особенно сложных цепей. Соотношения, выражающие законы Ома и Кирхгофа в символической форме, имеют такой же вид, как соотношения, выражающие эти законы для цепей постоянного тока. Отличие между ними заключается лишь в том, что все величины, входящие в формулы законов для цепей переменного тока, представляют собой комплексы. Поэтому символический метод дает возможность применять для расчета цепей переменного тока не только законы Ома и Кирхгофа, но также и все методы расчета сложных цепей, применяемые в цепях постоянного тока, в частности метод контурных токов, метод узловых напряжений и другие методы.

Известно, что каждому комплексному числу на комплексной плоскости (рис.43) соответствует точка М, имеющая две координаты – отрезок а на вещественной оси и отрезок b на мнимой оси, или радиус – вектор А, проекции которого на вещественную и мнимую оси являются координатами комплексного числа.

Рис.43. Изображение комплексного числа вектором

Соответственно этим двум изображениям комплексное число может быть записано в двух основных формах – алгебраической и тригонометрической: A =a + jb = A(cosα+jsinα), где j= А – модуль комплексного числа; α=artg - аргумент комплексного числа.

Комплексное число может быть записано также в третьей так называемой Эйлеровой, или показательной форме, а именно:

A =Ae^jα ,

где А - модуль комплексного числа;

e^jα – поворотный множитель;

е – основание натуральных логарифмов.

Комплексные числа допускают выполнение над ними всех основных математических действий. При выполнении отдельных действий обычно выбирается наиболее удобная форма записи комплексного числа. Так, например, при сложении и вычитании удобной является алгебраическая форма, а при умножении и делении – показательная.

Сложение двух или нескольких комплексных чисел соответствует сложению векторов, т.е. складываются отдельно их действительные и мнимые составляющие. Так, например, если необходимо сложить A ₁= а₁+jb₁ и A₂ = а₂ +jb₂, то A = A ₁ + A ₂ = (а₁ + а₂) + j(b₁ + b₂).

Вычитание комплексных чисел - это действие, обратное их сложению:

A = A ₁ - A ₂ = (а₁ - а₂) + j(b₁ - b₂).

Умножение и деление комплексных чисел выполняется следующим образом:

А = A ₁ ۰ A ₂ = A₁ e^jα_۰А ₂е^jβ = А₁А₂е^j(α+β); А = ,

т.е. при умножении аргументы комплексов складываются, а при делении – вычитаются.

Символическое изображение электрических величин

и параметров цепей синусоидального тока

Всякая синусоидальная величина, как известно, может быть представлена вращающимся вектором, а последний может быть изображен комплексным числом. Следовательно, любая синусоидальная величина может быть представлена в виде соответствующего комплексного числа или комплекса.