Эквивалентность выражений реляционной алгебры и реляционного исчисления с переменными-кортежами

В той же книге (стр. 104) доказана следующая теорема, которая здесь приводится без доказательства.

Если E – выражение реляционной алгебры, то существует эквивалентное ему безопасное выражение реляционного исчисления с переменными-кортежами.

Ниже приводятся некоторые эквивалентности.

Выражение реляционной алгебры	Выражение реляционного исчисления с переменными-кортежами
Объединение: r1 È r2, r1(R), r2(R)	{x(R) | r1(x) Ú r2(x) }
Разность: r1 – r2 , r1(R), r2(R)	{x(R) | r1(x) Ù Ør2(x) }
Пересечение: r1 Ç r2, r1(R), r2(R)	{x(R) | r1(x) Ù r2(x) }
Декартово произведение: r1 ´ r2, r1(R1), r2(R2)	{x(R1R2) | $u(R1) $v(R2) (r1(u) Ù r2(v) Ù x[R1] = u{r1] Ù x[R2] = v[R2]) }
Проекция: pL(r), r(R), L Í R	{t(L) | $u(R) (r(u) Ù u[L] = t[L] }
Выбор: sF(r), r(R)	{ t(R) | r(t) Ù F’) }
Естественное соединение: r1 r2 r1(AB), r2(BC)	{ t(ABC) | $u(AB) $v(BC) (r1(u) Ù r2(v) Ù u[B] = v[B] Ù t[AB] = u[AB] Ù t[C] = v[C]) }
Деление: r1 ¸ r2, r1(AB), r2(B)	{ t(A) | "x(B) (r2(x) Ù $y(AB) (r1(y) Ù y[B] = x[B] Ù y[A] = t[A] }