Безопасные выражения

Выражение вида { t | Ø r(t) } в общем случае определяет бесконечное отношение, что недопустимо. Поэтому в реляционном исчислении ограничиваются рассмотрением так называемых безопасных выражений вида { t | y(t) }, которые гарантированно дают ограниченное множество кортежей. В таких выражениях значения атрибутов кортежей t являются элементами некоторого ограниченного универсального множества – DOM(y). Здесь DOM(y) – унарное отношение, элементами которого являются символы, которые либо явно появляются в y, либо служат компонентами какого-либо кортежа в некотором отношении R, упоминаемом в y.

В книге Дж. Ульман. Основы систем баз данных / пер. с англ – М.: Финансы и статистика, 1983, стр. 103 – 104, приведено следующее определение:

«Выражение { t | y(t) } реляционного исчисления с переменными-кортежами назовем безопасным, если выполняются следующие условия:

1. Всякий раз, когда t удовлетворяет y(t), каждый компонент t есть элемент DOM(y).

2. Для любого подвыражения y вида ( $ u) (w(u)) каждый компонент u принадлежит DOM(w), если u удовлетворяет w.

3. Если для любого подвыражения y вида ( " u) (w(u)) каждый компонент u не принадлежит DOM(w), то u удовлетворяет w.

Условия 2 и 3 позволяют устанавливать истинность квалифицированной формулы ( $ u) (w(u)) или ( " u) (w(u)), рассматривая только u, составленные из принадлежащих DOM(w) символов. Например, любая формула ( $ u) (R(u) Ù …) удовлетворяет условию 2, а любая формула ( " u) (ØR(u) Ú …) – условию 3.

Хотя условие 3 может показаться не интуитивным, мы должны заметить, что формула ( " u) (w(u)) логически эквивалентна формуле Ø ( $ u) ( Ø w(u)). Последняя не является безопасной, если и только если существует некоторое u₀, для которого истинно Øw(u₀) и u₀ не принадлежит домену формулы Øw. Так как домены w и Øw одни и те же, условие 3 устанавливает, что формула ( " u) (w(u)) безопасна, когда безопасна формула Ø ( $ u) ( Ø w(u)) …»