Декартово произведение отношений

Здесь отношения r₁(R₁) и r₂(R₂) могут иметь разные схемы, не обязательно совместимые по объединению. Перед выполнением операции декартова произведения необходимо переименовать схемы отношений R₁ или R₂ так, чтобы они не имели одноименных атрибутов.

Определение

Декартовым произведением двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), у которых R₁ Ç R₂ = 0, называется отношение s = r₁ ´ r₂, для которого

a) схема отношения определяется сцеплением (объединением) схем R₁ и R₂,

b) реализация отношения представляет множество кортежей, которое получается путем сцепления каждого кортежа из r₁ с каждым кортежем из r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), R₁(A₁, A₂, …, A_m), r₂(R₂), R₂(B₁, B₂, …, B_n), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ Ç R₂ = 0

s = r₁ ´ r₂ = s(R), R(A₁, A₂, …, A_m, B₁, B₂, …, B_n), s = {u_i v_j | u_i Î r₁, v_j Î r₂}

Пример:

Свойства операции:

- коммутативна – r₁ ´ r₂ º r₂ ´ r₁

- ассоциативна – r₁ ´ (r₂ ´ r₃) = (r₁ ´ r₂) ´ r₃ = r₁ ´ r₂ ´ r₃

В теории множеств данная операция и не коммутативна, и не ассоциативна, так как в множествах определен порядок перечисления элементов в кортеже. Так как одно из свойств реляционной модели данных – отсутствие упорядоченности атрибутов, данная операция приобретает указанные свойства.