Свойства операций

Для любых множеств A,B,C выполняются следующие тождества:

1. A B = B A, A B = B A

(коммутативность объединения и пересечения);

1. A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C

(ассоциативность объединения и пересечения);

1. A (B C) = (A B) (AC),

A (B C) = (A B) (AC)

(дистрибутивность;

1. A A = A, A A = A

(идемпотентность;

1. A U = U, A U = A, A  = A, A  = ,
2. A A = U, A A = 

(свойства универсального и пустого множеств);

1. 
   (закон двойного дополнения);
2. 

(законы де Моргана).

Посмотрим, как доказываются свойства операций над множествами. Прежде всего отметим, что, согласно определению, для доказательства равенства двух множеств E = F необходимо установить справедливость двух вложений E  F и F  E.

Теперь приведем доказательства, например, третьего и седьмого свойств.

Доказательство равенства: A (B C) = (A B) (A C).

 Покажем сначала, что A (B C)  (A B) (A C). Пусть x  A(B C). Это означает, что x  A и x  B C, поэтому x  A и x принадлежит хотя бы одному из двух множеств B или C.

Если мы предположим, что x  В, то x  A B и, следовательно, x  (A B) (AC). Если же предположить, что x  C, то x  A C и поэтому x  (A B) (A C). Таким образом, вложение A (B C)  (AB) (A C) доказано.

Докажем справедливость обратного вложения:

Пусть x  (A B) (A C), это означает, что x принадлежит хотя бы одному из двух множеств A B или A C. Если x  A B, то x  A и x  B. Следовательно, x  A и x  B C, т.е. x  A (B C).

Если же x  A C, то x  A и x  C, и тогда x  A и x  C B, т.е. x  A (C B) = A (B C). 

Наряду с объединением и пересечением двух множеств можно рассматривать объединение и пересечение любого конечного (или бесконечного) числа множеств. Пример. X = { 1,2,3 }, Y = { 1,2}, Z = { 1,2,3,{ 1,2 } }. Определить, какие из приведенных ниже утверждений справедливы, а какие - нет:

а) 1  X, b) 1  X, c) Y  X, d) Y  X, e) Y  Z, f) Y  Z.

Утверждение а) справедливо, так как 1 является элементом множества X;

b) неверно, так как 1 не является подмножеством множества X;

c) несправедливо, так как множество Y не является элементом множества X, и поэтому Y не принадлежит множеству X;

d) справедливо, так как множество Y является подмножеством множества X;

e) справедливо, так как множество Y является элементом множества Z;

f) справедливо, так как множество Y является подмножеством множества Z.