Понятие функции. Способы задания функции

Понятие функции является одним из основных понятий современной математики. С этим понятием часто встречаются при изучении реальных процессов в природе, науке и технике. Понятие функции не является раз и навсегда данным. Это понятие возникло в XVIII веке и прошло сложный и трудный путь развития, на каждом этапе которого определялось по разному. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.

Определение1. Переменная величина y называется функцией от переменной величины х, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х соответствует единственное вполне определенное значение величины у.

Это определение в общих чертах было сформулировано гениальным русским математиком Н. И. Лобачевским

y=f(x), y=F(x)-функциональная зависимость х и у.

f, F - характеристики функции, х - независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная.

Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования функции.

Пример: область определения функции

Чтобы наглядно представить поведение функции, строят ее график, рассматривая независимую переменную х и функцию у как прямоугольные координаты некоторой точки М на плоскости ХОУ.

Определение 2. Графиком функции у= f (х) называется множество всех точек М(х,у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

Или иными словами говоря, график функции – линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию. Например, х²+у²=4, у≥0

Рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

1.Аналитический.

Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.

y = tgx² + 5, S = 4πR² , y=kx.

Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.

2. Табличный способ задания функции.

Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.

3. Графический способ задания функции.

Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.

В математике часто обращаются к графической иллюстрации функции. Из трех рассматриваемых способов задания функции основным является аналитический способ.

3. Основные свойства функций.

а) Монотонные функции.

у

Определение 1. Функция у= f (х) называется монотонно возрастающей, если большему значению аргумента, соответствует большее значение функции, т.е. из неравенства х₂>х₁ следует f (х₁) > f (х₂).

		х

Х2

Х1

y

Определение 2. Монотонно убывающая:х₂>х₁, f (х₁)< f (х₂).

б) Ограниченные и неограниченные функции.

Определение 3. Функция у= f (х) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что f (х)≤М для любого х.

Определение 4. Функция у= f (х) называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что f (х)≥m для любого х. Функция у= f (х) называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. если существуют такие числа m и М, что при любых значениях х выполняются неравенства: m ≤ f (х)≤М

y

Если чисел m и М не существует, то функция называется неограниченной.

Пример: y=sinx, y=cosx - ограниченные, y=tgx и y=ctgx неограниченные.

в) При построении графиков функций важно учитывать симметрию графика и периодичность.

Определение 5. Функция у= f (х) называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, то есть f (-х)= f (х).

График четной функции симметричен относительно оси ОУ.

Определение 6. Функция у= f (х) называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный f (-х)= -f (х).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Определение 7. Функция у= f (х) называется периодической, если существует положительное число Т (период функции) такое, что f (х+Т)= f (х).