Статистические модели, используемые при дисперсионном анализе

Использование дисперсионного анализа позволяет ответить на вопрос, оказывает ли существенное влияние некоторый фактор X на исследуемую величину Y. Метод заключается в сравнении дисперсии, возникающей под влиянием факторов X, т.е. факторной дисперсии, с остаточной дисперсией, обусловленной случайными причинами. Если различие между дисперсиями значимо – фактор X существенно влияет на выходной параметр [73].

Дискриминантный анализ [74] используется для принятия решения о том, какие переменные вызывают большие рассеяния выходных величин (различают (дискриминируют) совокупности характеристик оцениваемых объектов). С вычислительной точки зрения дискриминантный анализ аналогичен дисперсионному анализу. Основная идея метода заключается в том, чтобы определить, отличаются ли совокупности по средним значениям той или иной характеристики (или их комбинаций), а затем использовать эту характеристики для классификации объектов по группам. Поскольку при использовании метода обычно имеют дело с несколькими характеристиками, факторами (переменными), задача также состоит в том, чтобы установить, какие из факторов вносят более значимый вклад в различие между совокупностями. Такая методика аналогична процедуре многомерного дисперсионного анализа.

Рассмотрим алгоритм использования дисперсионного анализа:

1. Исходные данные и обозначения.

Метод предполагает использование экспериментальных значений влияющих факторов и выходных параметров:

y – значение выходного параметра;

- значения влияющих факторов, их количество N;

- значение i -го фактора в j -м измерении, количество измерений m;

- мгновенное значение выходного параметра под влиянием i -го фактора в j -м измерении.

2.Рассчитывают средние значения:

- общее среднее значение выходного параметра;

- среднее значение выходного параметра при i -м значении фактора, т.е. значение, усредненное по измерениям.

3. Рассчитывают дисперсии:

- общая дисперсия;

- факторная дисперсия, т.е. разброс значений выходного параметра под влиянием различных факторов;

- остаточная дисперсия.

4.Оценка значимости различия дисперсий проводится с помощью критерия Фишера (F-критерия), равного дисперсионному отношению

.

Влияние фактора X на параметр Y значимо, если , незначительно, если . Значение определяют по таблицам (Приложение 1) при заданном уровне значимости.

Нахождение статистических зависимостей с использованием планирования экспериментов

Интерполяция экспериментальных данных и оценка погрешностей и неопределенностей результатов измерения позволяют выявлять закономерности между значениями выходных параметров и вариантами сочетаний влияющих факторов, т.е. решать типичную задачу построения многофакторной эмпирической модели по экспериментальным данным. Решение таких задач относится к математическому направлению, которое носит название планирования экспериментов. Это направление подразумевает использование таких математических методов, как метод минимальных квадратов, регрессионный анализ, многофакторный анализ и т.д., подчиняя эти методы одной цели – выбору математической модели, описывающей статистические данные.

В то же время методы, используемые в планировании экспериментов, дополняют друг друга, позволяют учитывать особенности полученных результатов измерения. Так метод минимальных квадратов, позволяющий определять параметры аппроксимирующей зависимости, становится регрессионным анализом, как только переходят к статистическим оценкам параметров этой зависимости.