Выбор математической модели

В общем случае, когда нет аналитической зависимости между функцией отклика и влияющими факторами, можно использовать степенной ряд

,

где k – число влияющих факторов.

Так как необходимо иметь математическую модель, которую можно использовать для решения реальных практических задач, связанных с анализом результатов измерений, число членов степенного ряда ограничивается и степенной ряд заменяется полиномом некоторой степени. Например, если при двухфакторном эксперименте выходной параметр линейно связан с влияющими факторами, модель, аппроксимирующая экспериментальные результаты, является

- полиномом первой степени

;

если имеет место квадратичная зависимость, необходимо в виде модели принимать

- полином второй степени

;

модель в виде полинома третьей степени в данном случае будет выглядеть

Для аппроксимации зависимости выходного параметра от влияющих факторов можно использовать метод минимальных квадратов,

Расчет заключается в нахождении функции , значения которой при как можно меньше отличаются от экспериментально полученных значений .

Как известно, наиболее универсальным выражением для аппроксимации различных зависимостей является полином вида

. (3.23)

Параметры полинома должны быть подобраны таким образом, чтобы cумма квадратов отклонений между экспериментальными и теоретическими значениями была минимальна

, (3.24)

где - число экспериментальных результатов ,

При этом частные производные по неизвестным параметрам полинома должны быть равны 0:

(3.25)

…………………………………………………….

.

Методика расчета коэффициентов полинома:

1. По результатам измерения составляют условные уравнения

(3.26)

……………………………

.

Число экспериментальных значений должно быть больше или равно числу неизвестных .

2. Составляют нормальные уравнения.

Для этого последовательно умножают каждое условное уравнение на коэффициент при неизвестном параметре, складывают условные уравнения:

- коэффициент при параметре , поэтому первое нормальное уравнение будет иметь вид

; (3.27)

- коэффициент при равен , поэтому второе нормальное уравнение имеет вид

; (3.28)

- коэффициент при равен , поэтому третье нормальное уравнение имеет вид

.(3.29)

Число нормальных уравнений должно быть равно числу искомых параметров.

3. Решают систему нормальных уравнений, находят параметры , и получают аппроксимирующее выражение

. (3.30)

Все последующие расчеты позволяют определить погрешность проведенной аппроксимации.

4. По найденному выражению определяют значения для экспериментальных значений .

5. Находят разность между экспериментальными значениями и рассчитанными значениями .

6. Находят поправки на параметры путем составления новых условных уравнений

(3.31)

…………………………….

Количество усл.уравнений должно быть равно количеству неизвестных поправок

7. Составляют систему нормальных уравнений, которые получают при умножении последовательно каждого условного уравнения на множители при поправках и при их сложении:

- первое нормальное уравнение: (при умножении на множитель при )

; (3.32)

- второе нормальное уравнение: (при умножении на множитель при )

; (3.33)

- при умножении на множитель при

.(3.34)

и т.д.

Количество нормальных уравнений должно быть равно числу неизвестных поправок на коэффициенты полинома.

Поправки находят при решении системы полученных нормальных уравнений.

8. Находят значения коэффициентов полинома (аппроксимирующей функции) с учетом поправок

(3.35)

………..

.

При этом аппроксимирующая функция (статическая модель) будет иметь вид

. (3.36)

9. Определяют погрешность аппроксимации:

(3.37)

где - число условных уравнений (число экспериментальных значений ); - число коэффициентов полинома.

В практических задачах могут иметь место частные случаи аппроксимации функциональных параметров:

- Степенная функция вида

(3.38)

при - встречается, например, при резком изменении выходного параметра от эксплуатационного фактора (например, изменение износа металлорежущего инструмента во времени). Для определения
коэффициентов и также используется метод наименьших квадратов с приведением уравнения к линейному при помощи логарифмирования

. (3.39)

По аналогии с предыдущей задачей определяются нормальные уравнения

(3.40)

где - число экспериментальных данных.

- Экспоненциальная функция

(3.41)

встречается, например, при описании зависимости температурных деформаций режущего инструмента во времени, при описании сенсорных, психофизических зависимостей, характеристик надежности (таких, как вероятность безотказной работы).

В этом случае целесообразно находить не минимальные суммы квадратов отклонений, а минимальные суммы квадратов отклонений логарифмов этих функций

, (3.42)

т.е.

. (3.43)

Система нормальных уравнений будет иметь вид ;

. (3.44)

4.2.3. Обработка результатов аппроксимации при использовании метода планирования экспериментов

Экспериментальные результаты и результаты расчетов при использовании метода планирования экспериментов вносят в таблицу (таблица 4), которая называется матрицей планирования. Часть таблицы, включающая только значения независимых переменных, является планом эксперимента. Графическая интерпретация результатов приведена на рис.29.

Анализ результатов при планировании эксперимента: заключается в оценке дисперсии результатов измерения, оценке адекватности и оценке значимости коэффициентов выбранной модели.

1. Проверка равноточности проведенных измерений может быть проведена с помощью критерия Кохрена (критерия равноточности) ,

где - дисперсия i -го эксперимента.

Полученное значение критерия при принятом уровне значимости сравнивают с табличным значением (Приложение 2). Если , результаты измерений считаются равноточными и их погрешность оценивается погрешностью определения среднего значения

.

Организационно-технические мероприятия

9Таблица 4

Форма матрицы планирования

Номер измерения в каждой серии	Номер серии измерений
	…	i	…	N
		…		…
…
j		…		…
…
m		…		…
Среднее значение параметра в серии измерений		…		…

2. Адекватность выбранной модели проверяют с помощью критерия Фишера , где

- дисперсия адекватности; s – число параметров аппроксимирующей зависимости, определенных методом наименьших квадратов (число коэффициентов полинома).

Если , модель адекватна экспериментальным данным. Критерий применим только при . Если неравенство не выполняется – необходимо уточнить аппроксимирующую зависимость.

Рис.29. Графическое представление результатов измерения при использовании планирования эксперимента: – среднее значение в i -м эксперименте; y­_ip­ – значение, определенное с помощью аппроксимирующей зависимости

3. Оценка значимости коэффициентов аппроксимирующей зависимости

Коэффициенты полинома (аппрокс.завис.) в различной степени влияют на выходной параметр и на точность модели. Коэффициенты при линейных членах полинома при отсутствии других членов являются частными производными функции отклика по соответствующим переменным, т.е. значения коэффициентов являются количественной мерой, определяющей влияние каждого фактора. Знак коэффициента определяет характер зависимости функции отклика от соответствующего фактора. Коэффициенты при квадратичных членах характеризуют степень нелинейности функции отклика и т.п.

Оценку значимости коэффициентов с точки зрения отличия от нуля можно проводить с помощью критерия Стьюдента , где - дисперсия коэффициента ; .

При этом решают систему нормальных уравнений относительно коэффициентов , но правые части уравнений заменяют на , при этом ,получают зависимости

Подставляя =1 и принимая остальные , находят , т.е. и т.д. Таким образом, дисперсии коэффициентов будут равны

и т.д.

Значения сравнивают с табличными значениями (Приложение 3). При коэффициент считается незначимым и может быть исключен из модели.