Рівняння моменту імпульсу для обертання навколо нерухомої осі. Момент інерції

Векторне рівняння (1.90) еквівалентне трьом скалярним рівнянням:

, (1.92)

де М – момент зовнішніх сил.

Взагалі, моментом імпульсу системи матеріальних точок відносно осі z називається проекція на цю вісь вектора моменту імпульсу системи відносно будь-якого початку, вибраного на даній осі. Відповідно, моментом сили відносно тієї ж осі z називається проекція на цю вісь вектора моменту сили відносно довільного початку, що належить даній осі. Коли момент зовнішніх сил відносно якоїсь нерухомої осі рівний нулю, то момент імпульсу системи відносно тієї ж осі залишається постійним. Це – закон збереження моменту імпульсу відносно нерухомої осі. При цьому сам вектор може і змінюватися.

Приклад. Невелике тіло маси m, підвішене на нитці, рівномірно обертається в горизонтальній площині (рис. 1.33) під дією сили тяжіння і сили натягу нитки . Відносно точки О момент імпульсу тіла – вектор – знаходиться в одній площині із віссю z та ниткою. При русі тіла вектор під дією моменту сили тяжіння весь час повертається, тобто змінюється. Але проекція залишається при цьому незмінною, оскільки вектор перпендикулярний до осі z, тобто .

Застосуємо рівняння моментів відносно осі до аналізу обертального руху твердого тіла. За нерухому вісь виберемо вісь обертання. Для цього уявно розіб’ємо тіло на сукупність матеріальних точок. Момент імпульсу окремої матеріальної точки (рис. 1.34), що обертається по колу радіуса відносно осі обертання, , лінійна швидкість пов’язана з кутовою швидкістю як . Отже . При обертанні навколо осі системи матеріальних точок, на які розбите тверде тіло, , де сума береться усіх матеріальних точок системи. Оскільки кутова швидкість обертання твердого тіла однакова для усіх точок, то її можна винести з-під знаку суми. Тоді отримаємо:

(1.93)

Величину

(1.94)

називають моментом інерції тіла (системи матеріальних точок) відносно осі обертання. Тоді рівняння (1.92) набуде вигляду:

(1.95)

Рівняння (1.95) є виражає основний закон динаміки обертового руху навколо нерухомої осі. Воно нагадує рівняння Ньютона для поступального руху тіла, де роль маси грає момент інерції І, роль лінійної швидкості – кутова швидкість ω, роль сили – момент сили М, роль імпульсу – момент імпульсу L.

Якщо момент зовнішніх сил М відносно осі обертання рівний нулю, то момент імпульсу Іω зберігається, тобто

(1.96)

При обертання навколо осі твердого тіла окрім кутової швидкості не змінюється момент інерції відносно осі обертання. Тоді рівність (1.95) можна записати як:

(1.97)

де β – кутове прискорення тіла.