Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке

А _z = А n, где l,m,n- направляющие косинусы нормали υ. Проектируя все силы на оси x,y,z, подставляя значения А_x, А_y А_z и сокращая получим:

Напряженное состояние в точке определяется шестью компонентами.

Главные оси и главные напряжения.

Равнодействующая составляющих X,Y,Z на наклонной площадке называется полным напряжением и определяется как геометрическая сумма составляющих p = . Разложим его на нормальную и касательную составляющие. Тогда σ = X l+ Y m +Zn. Подставляя сюда (3) получим:

(а)

Из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат уравнение (а) можно преобразовать таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат или в данном случае направляющих косинусов, или иначе говоря обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений.

Это значит, что в каждой исследуемой точке напряженного тела существует такая система осей x,y,z, в которой касательные напряжения τ_yz, τ_zx, τ_xy равны нулю. Такие оси называются главными осями, а нормальные напряжения в них- главными напряжениями. В порядке уменьшения они обозначаются σ₁, σ₂, σ₃.

Определим величины главных напряжений по заданным значениям шести компонентов напряженного состояния в произвольной системе x,y,z.

Пусть наклонная площадка будет главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (главное напряжение) σ - будет направлено по нормали υ и соответственно его составляющие определятся:

X=σ l, Y=σ m, Z=σ n. Тогда соотношения (3) примут вид:

или

(а)

Эта система уравнений относительно неизвестных l,m,n определяет ориентацию главной площадки в системе исходных заданных осей x,y,z.

Полученная система является однородной и должна давать ненулевое решение поскольку направляющие косинусы не могут быть все одновременно равны нулю и должно соблюдаться условие: l²+m²+n²=1.

Для того, чтобы система уравнений (а) имела решение отличное от нуля, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

Раскрыв определитель получим кубическое уравнение:

(a) σ³–σ²I₁+σI₂-I₃=0, где

I₁=σ_x+ σ_y + σ_z,

I₂=σ_x σ_y+ σ_yσ_z+ σ_z σ_x+ τ_xy²+ τ_yz²+ τ_zx².

I₃= .

Кубическое уравнение (a) дает три корня, которые и будут главными напряжениями σ₁, σ₂, σ₃. Главные напряжения определяются характером напряженного состояния и не зависят от положения координатных осей.

При повороте осей x, y, z коэффициенты I₁,I₂,I₃ не изменяются, поэтому они называются инвариантами напряженного состояния.

В некоторых случаях инварианты могут принимать нулевые значения. Например, если I₃=0, то один из корней равен нулю и в этом случае имеем двухосное или плоское напряженное состояние.

Если I₂=I₃=0, то уравнение имеет два нулевых корня, а напряженное состояние называется одноосным.

Лекция 13. Экстремальные касательные напряжения.

Пусть заданы главные напряжения, действующие по граням элемента, образованного главными площадками и требуется определить напряжения на площадке наклоненной к главным площадкам.

Пусть площадка параллельна направлению действия главного напряжения σ₂.

Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы.

Проектируя все силы, действующие на призму на оси, совпадающие с векторами σ и τ преобразуя получим:

Аналогично можно определить напряжения на площадках параллельных осям x и z. Из выражений и видно, что нормальные напряжения σ достигают экстремума при 2α = 0; 180˚, т.е. когда площадка параллельна направлениям σ₂ и σ₃ или перпендикулярна напряжению σ₁, т.е. является главной площадкой.

Из второй формулы видно, что τ = τ _max при sin2α = 1 или когда α = 45˚, 135˚.

Т.е. τ _max =

Наибольшие касательные напряжения возникают в площадке, равнонаклоненной к площадкам максимального и минимального из главных напряжений. Во всех других площадках касательные напряжения будут иметь меньшие значения т.к. σ₁>σ₂>σ₃.

Плоское напряженное состояние.

Частный случай объемной задачи - плоское напряженное состояние, когда все напряжения действуют в одной плоскости.

По аналогии с объемной задачей запишем определитель системы уравнений для главной площадки:

Раскрывая получим: σ² – I₁ σ + I₂ = 0, где

I₁ =σ_x+ σ_y,

I₂ =σ_x σ_y – τ_xy², -инварианты напряженного состояния.

I₃ = 0.

Решение квадратного уравынения даст главные напряжения:

Деформированное состояние в точке.

Существует математическая аналогия законов распределения напряжений и деформаций в точке.

Для определения главных деформаций ε₁, ε₂ ,ε₃ соответствующих главным напряжениям σ₁, σ₂, σ₃ необходимо составить кубическое уравнение, аналогичное напряженному состоянию:

Где I_1, I_2, I₃ инварианты деформированного состояния:

Для плоской деформации имеем:

Корни уравнения и будут главными деформациями:

.

Тема 15. Теория предельных напряженных состояний.

Предельные состояния материала.