Однослойная стенка (труба)

Рассмотрим однородную однослойную трубу (рис. 12.4) длиной l, с внутренним радиусом r1 и наружным радиусом r2. Коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен l. На внутренней и внешней поверхности трубы поддерживаются постоянные температуры t1 и t2 соответственно. Причем t1 > t2. Температура изменяется только в радиальном направлении. Температурное поле в этом случае будет одномерным, а изотермические поверхности будут цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось.

Рис. 12.4. Однослойная цилиндрическая стенка

Выделим внутри стенки трубы кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный двумя изотермическими поверхностями. Количество тепла, согласно закону Фурье проходящее в единицу времени через этот слой, можно определить как

. (12.21)

Разделяя переменные, получим

.

После интегрирования имеем

. (12.22)

Подставляя значения переменных на границах стенки: при r = r1, t = t1 и при r = r2, t = t2 получаем два уравнения и вычитая почленно из первого второе получим

. (12.23)

Отсюда

. (12.24)

Количество тепла, передаваемое через цилиндрическую стенку пропорционально длине трубы, коэффициенту теплопроводности и разности температур и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d2 к внутреннему d1.

Количество тепла, проходящее через, стенку может быть отнесено к единице длины трубы, либо к единице площади внутренней или внешней поверхности трубы. В этом случае расчетные формулы примут вид:

. (12.25)

где q1 — количество тепла, передаваемое через единицу длины трубы, Вт/м.

. (12.26)

где — количество тепла, отнесенное к единице площади внутренней поверхности трубы, Вт/м².

. (12.27)

где — удельный тепловой поток (плотность теплового потока) проходящий через единицу площади наружной поверхности трубы; Вт/м².

При этом связь между этими удельными потоками, отнесенными к разным величинам, будет определяться следующими соотношениями:

, (12.28)

. (12.29)

Из уравнения (12.22) можно получить уравнение температурной кривой, если подставить в него значения Q и C.

. (12.30)

При постоянном значении коэффициента теплопроводности (l = const) температура внутри стенки изменяется по логарифмическому закону.