Смешанное произведение векторов. Определение 1. Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов

Определение 1. Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов на вектор .

Обозначение. (

Можно показать, что

Теорема 1. Абсолютная величина (модуль) смешанного произведения трёх неколлинеарных векторов равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Доказательство.

Введём обозначения: , ∠(

Тогда имеем:

( (1)

По теореме 1 из §2 имеем:

(2)

Пусть - высота параллелепипеда (.

Из ∆

Случай 1:

Случай 2:

В обоих случаях получаем:

. (3)

Подставляя значения (2) и (3) в формулу (1), окончательно получаем:

(

Итак,

. (4)

Теорема доказана.