Теорема Муавра - Лапласа (локальная)

Остановлюсь еще на двух предельных теоремах в схеме Бернулли - локальной теореме Муавра - Лапласа (её доказательство получим как частный случай закона больших чисел - предельной теоремы Ляпунова, доказательство которой нам ещё предстоит провести) и интегральной теореме Муавра - Лапласа. Итак:

· локальная приближенная формула Лапласа (при больших )

,

причем, во-первых, погрешность этой формулы есть величина порядка , во-вторых, для функции составлена таблица её значений. Для отрицательных значений аргумента пользуются той же таблицей, так как, очевидно, , то есть функция четная. Заметим также, что график функции называется кривой Гаусса (см. рис.).

· интегральная приближенная формула Лапласа (при больших , т.е. ; ):

,

где

.

Для функции также есть табличные значения, когда . При справедливо неравенство , что равносильно условию (график функции см. на рис.). Отметим, что точность растет с ростом произведения , и, обычно, пользуются этими формулами в случае, когда .

Замечание: если функция Лапласа записана в виде , то . Иногда функция Лапласа может быть записана в виде

,

тогда .

Отметим, что в схеме Бернулли рассматривались независимые испытания. Если же вероятность наступления события в -ом опыте зависит от результата только предыдущего, - ого опыта, то такая схема называется цепью Маркова.