Стремится к нулю при :

сходится . Обратное неверно. Пример – гармонический ряд.

Введём понятие остатка ряда.

Определение. Остатком ряда (18.2.1) после n -го члена называется ряд .

18.1.2.2. Если сходится ряд (18.2.1), то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

18.1.2.3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при .

18.1.2.4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

18.1.2.5. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать и вычитать; ряд также сходится, и его сумма равна .

18.1.3. Сходимость рядов с положительными членами (положительных рядов). Термином "положительный ряд" мы будем называть числовой ряд с неотрицательными членами: для . Для таких рядов частичная сумма является возрастающей функцией аргумента n. Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, поэтому сразу сформулируем признак сходимости положительных рядов: