Уравнения с разделяющимися переменными

14.3.1.1. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида

f (x) dx + g (y) dy = 0. (10)

Пусть y (x) - решение этого уравнения, т.е. f (x) dx + g (y (x)) dy (x) = 0. Интегрируя это тождество, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пример: решить задачу Коши Исходное уравнение - с разделёнными переменными, интегрируя его, получим

. Соотношение (x -1)² + y ³ = C - общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x ₀ и y ₀, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1)² + 1³ = 2 C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x -1)² + y ³ = 2.

14.3.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

(11)

или f ₁(x) g ₁(y) dx + f ₂(x) g ₂(y) dy = 0. (12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме , затем делим на g (y) и умножаем на dx: .		Уравнение (12) делим на f 2(x) g 1(y): .
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
.		.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
Если функция g (y) имеет действительные корни y 1, y 2, y 3, …, то функции y = y 1, y = y 2, y = y 3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.		Если функция f 2(x) имеет действительные корни корни x 1, x 2, x 3, …, функция g 1(y) имеет действительные корни y 1, y 2, y 3, …, то функции x = x 1, x = x 2, x = x 3, …, y = y 1, y = y 2, y = y 3, … являются решениями исходного уравнения.
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Примеры: 1. .

При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln| C ₁|: .

Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида ( - постоянные). Если перейти к новой неизвестной функции z = ax + by + c, то , и уравнение представляется как . Это - уравнение с разделяющимися переменными.

Пример: .

14.3.2. Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f (x, y) от своих аргументов:

. (13)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u (x) заменой , или . Подставляя в (13) y = x u, , получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.

Пример:

- общее решение уравнения.

Как "узнать в лицо" уравнение с однородной правой частью? Введём определение. Функция f (x, y) называется однородной функцией своих аргументов степени m, если для любого t выполняется тождество f (tx, ty) = t^m f (x, y). Так, x ³ – 3 xy ² + 4 y ³ - однородная функция степени 3, ln x – ln y - однородная функция нулевой степени. Если M (x, y), N (x, y) - однородные функции одной степени, то уравнение M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 может быть приведено к виду .

Примеры: 1. (y ² - 2 xy) dx + x ² dy = 0. Здесь коэффициенты при дифференциалах - однородные функции второй степени, т.е. уравнение должно приводиться к виду (13). Решаем уравнение относительно производной: делим числитель и знаменатель правой части на x ²: - это уравнении с однородной правой частью.

Это общий интеграл уравнения. Утерянные решения: x = 0, y = x (u = 1); решение y = 0 (получаемое из u = 0) содержится в общем решении при C = 0.

2. . Преобразуем уравнение: . Решение: общий интеграл уравнения в переменных x, u: . Преобразуем это выражение:

, или (). Утерянные решения: Ответ: (); .

14.3.3. Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y (x) и её производная входят в уравнение в первой степени:

. (14)

Здесь p (x), q (x) - непрерывные функции.

Для решения уравнения (14) представим y (x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u (x) и v (x): y (x) = u (x) v (x). Тогда , и уравнение приводится к виду , или . Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v (x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными ; затем находим u (x) из уравнения . Итак, (мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v (x), обнуляющую слагаемое со скобками в уравнении ). Теперь уравнение для u (x) запишется как

. Общее решение уравнения (14): .

Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

Пример: . Решение:

. Теперь для u (x) получим: ,

и общее решение уравнения . Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение . Решение задачи: .

Этот метод решения линейных уравнений часто реализуется по-другому - в форме вариации произвольной постоянной. Уравнение (14) называется однородным, если q (x) = 0. Пусть дано неоднородное уравнение (14) . Оно, как и в предыдущем случае, решается в два этапа. Обнулим правую часть, получившееся уравнение будем называть однородным уравнением, соответствующим уравнению (14): . Решаем это уравнение:

(при делении на y теряется решение y (x) = 0, но оно входит в общее решение при C = 0). Теперь ищем общее решение уравнения (14) в виде , где - новая неизвестная функция; находим производную и подставляем в (14) y и : , или , где . Теперь .

Понятно, что обе реализации решения имеют один смысл (решение однородного уравнения играет роль функции v (x), варьируемая постоянная C (x), - роль функции u (x),).

Отметим ещё одно важное обстоятельство. Переменные x и y, входящие в уравнение, равноправны, поэтому при определении типа уравнения надо иметь в виду, что может оказаться предпочтительней искать решение в виде x = x (y), а не в виде y = y (x).

Пример: (x + y ²) dy = ydx. Если мы представим это уравнение в виде , то решить его не сможем, так как оно не принадлежит ни одному из рассмотренных типов. Если же представить его в виде , то относительно функции x = x (y) оно линейно. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение: . Его решение:

. Ищем решение данного уравнения в форме x = C (y) y. Тогда (постоянная C ₀ переобозначена как ). Утерянное решение - y = 0.

Опр. Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y (x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

. (19)

Если старший коэффициент q ₀ (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая (19) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

(20)

; дальше мы будем рассматривать уравнение (20).

Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f (x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида

. (21)

Задача Коши для уравнений (20) и (21) ставится также, как и для общего уравнения n -го порядка (17) : требуется найти решение уравнения (20) или (21), удовлетворяющее начальным условиям

(22)

где y ₀, y ₁, y ₂, …, y_{n -1} - заданные числа. Для уравнения (17) теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции и её производных ; если привести (20) к виду (17): ,

то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f (x) и p_i (x), i = 1, 2, …, n.