Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (25)

14.5.4.1. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y (x) для которых L_n (y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y ₁(x), y ₂(x) - частные решения (25), то функции Cy, y ₁(x) + y ₂(x) - тоже частные решения (25).

Следствие. Если y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_ny_n (x) - тоже частное решение этого уравнения.

Теорема 14.5.4.2. Пусть y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Док-во. Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W (x ₀) является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C ₁, C ₂, …, C_n. Рассмотрим линейную комбинацию функций y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) с этими коэффициентами C ₁, C ₂, …, C_n: y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ + C_n y_n (x). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x ₀, т.е. является решением задачи Коши

,

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y (x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x) = 0 для любого . Таким образом, система функций y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Теорема 14.5.4.3. Если определитель Вронского W (x) системы y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W (x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию .

Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:

Теорема 14.5.4.4. Если W (x) - определитель Вронского системы y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).

14.5.5. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.

Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) его n частных решений.

Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y (x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x).

Док-во. Пусть y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y _чо(x) этого уравнения этого уравнения содержится в формуле y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x) при некотором наборе постоянных C ₁, C ₂, …, C_n. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C ₁, C ₂, …, C_n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C ₁, C ₂, …, C_n и сравним её с функцией y _чо(x). Функции y (x) и y _чо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x ₀, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y _чо(x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + … + C_n y_n (x). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.

Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

.	Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения (21) n задач Коши, причём начальные условия в точке x 0 для i -ой задачи возьмём из i -го столбца этого определителя:
Ln (y 1) = 0;	Ln (y 2) = 0;		Ln (yn) = 0;

Пусть y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x ₀ равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.

14.5.9. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива

Терема 14.5.9.1 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

(20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

(21)

и частного решения неоднородного уравнения (20):

y _он(x) = y _оо(x) + y _чн(x) = (C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x)) + y _чн(x).

Док-во. Мы должны доказать, что если известно частное решение y _чн(x) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение может быть получено по формуле при некотором наборе постоянных C ₁, C ₂, …, C_n. Так как и y _чн(x), и - решения неоднородного уравнения (20), то L_n (y _чн(x))= f (x) и , следовательно, по линейности оператора L_n (y), . Функция удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x) при некотором наборе постоянных C ₁, C ₂, …, C_n: . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида ( - постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f (x) = f ₁(x), f (x)= f ₂(x):

Теорема 14.5.9.2 о наложении решений. Если y _1,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения L_n (y) = f ₁(x), y _2,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения L_n (y) = f ₂(x), то функция является частным решением неоднородного уравнения .

Док-во основано на линейности оператора L_n (y): , что и требовалось доказать.

14.5.10. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения (сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения), и однородного линейного уравнения (линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений). Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами (и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами). Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

. (29)

Пусть y ₁(x), y ₂(x) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

, (30)

y _оо(x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) - общее решение однородного уравнения (30). Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Ищем общее решение неоднородного уравнения (29) в том же виде y (x)= C ₁(x) y ₁(x) + C ₂(x) y ₂(x), предполагая, что постоянные C ₁, C ₂ - не постоянные, а функции, зависящие от x: C ₁ = C ₁ (x), C ₂ = C ₂(x). Мы должны найти эти функции. Находим производную : . Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции y (x) мы ищем две функции C ₁ (x) и C ₂(x), и, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной не участвовали вторые производные функций C ₁ (x) и C ₂(x), в качестве этой связи положим

. (31)

Тогда .

Подставляем выражения для y (x) и её производных в уравнение (29):

Преобразуем:

Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции y ₁(x), y ₂(x) - решения однородного уравнения (30), поэтому окончательно

(32)

Уравнения (31),(32) дают замкнутую систему для функций и :

(33)

определитель этой системы совпадает с вронскианом функций y ₁(x), y ₂(x) и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение , . Находя это решения и интегрируя выражения производных для и , получим C ₁ (x) и C ₂(x), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x).

14.5.11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Выше неоднократно отмечалось, что в случае, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны (p_i (x) = a_i = const, i = 1, 2, …, n), удаётся найти фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим этот случай.

14.5.11.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

(34)

постоянны на рассматриваемом интервале (a, b) (a_i = const при i = 1, 2, …, n). Для нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения (34) предположим, что решения этого уравнения имеют вид y = e^kx. Тогда . Подставляя эти выражения для производных в (34) и сокращая его на e^kx, получим алгебраическое уравнение n -ой степени

kⁿ + a ₁ k^{n -1} + a ₂ k^{n -2} + a ₃ k^{n -3} + …. + a_n = 0. (35)

Уравнение (35) называется характеристическим уравнением уравнения (34). Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k ₁, k ₂, …, k_n, некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем:

Если k_j - простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция в ФСР;

если k_j - действительный корень характеристического уравнения кратности r > 1 (т.е. k_j = k_{j +1} = k_{j +2} = …= k_{j + r -1}), то этому множеству корней соответствует набор функций в ФСР;

если - простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь - мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с k_j число . Паре корней k_j, k_{j +1} соответствуют функции , в ФСР;

если - комплексный корень характеристического уравнения кратности r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число . Паре корней k_j, k_{j +1}, каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций , , , , , , …., , в ФСР.

Обоснование этого правила дадим для случая n = 2. Рассмотрим уравнение второго порядка

. (36)

Его характеристическое уравнение k ² + a ₁ k + a ₂ = 0, в зависимости от значения дискриминанта D = a ₁² - 4 a ₂, может иметь

1. действительные неравные корни k ₁, k ₂ (D > 0). Функции , по самому способу их нахождения, являются решениями уравнения (36). Вронскиан этой системы функций

, следовательно - это фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - .

2. действительные равные корни . Функция , как и в предыдущем случае, решение уравнения (36). Докажем, что функция тоже удовлетворяет уравнению:

, так как k ₁ - корень характеристического уравнения: . Функции - фундаментальная система решений, так как

. Общее решение уравнения (36) в этом случае - .

3. комплексные корни. В этом случае , где . Мы должны доказать, что функции удовлетворяют уравнению. Находим:

, подставляем в уравнение:

Рассмотрим по отдельности коэффициенты при и при : , . Итак, , т.е. функция - действительно решение уравнения. Аналогично доказывается, что и функция - решение уравнения. Якобиан этой системы функций:

, т.е. это - фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - .

Примеры:

1. .

Характеристическое уравнение k ² + 4 k - 5 = 0. Его корни k ₂ = 1. Фундаментальная система решений y ₁(x) = e ^{-5 x}, y ₂(x) = e ^x, общее решение y (x) = C ₁ e ^{-5 x} + C ₂ e^x.

Тема 14.

18.1. Числовые ряды.

18.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность .

Числовым рядом называется составленная из членов этой последовательности запись

. (18.1.1)

Эквивалентная (18.1.1) форма записи ряда - с применением символа суммы: .

Числа называют членами ряда; , называется общим членом ряда. В результате вычисления значений этой функции при n =1, n =2, n =3, … должны получаться члены ряда .

Примеры. 1. Пусть . Записать ряд.

При n =1 получаем , при n =2 , при n =3 и т.д., ряд имеет вид .

Основным понятием теории рядов является понятие сходимости числового ряда. Пусть дан ряд (18.1.1). Составим из его членов конечные суммы, называемые частичными суммами ряда:

Определение. Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм ряда (18.1.1) при , то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .

Если не существует (в том числе бесконечен), ряд называется расходящимся.

Примеры. 1. Ряд 1+1+1+…+1+…, очевидно, расходится, так как .

2. Ряд 1-1+1-…+(-1) ^{n -1}+… тоже расходится, так как и вообще а такая последовательность предела не имеет.

18.1.2. Свойства сходящихся рядов.

18.1.2.1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда

(18.2.1)