Теория пределов

Т.

1. Пусть Х - некоторое числовое поле. Если $ М Î R ô" х Î Х М ³ х то множество Х называется ограниченным сверху, а число М называется его верхней границей. Наименьшая из верхних границ М * множества Х называется его верхней гранью и обозначается М * = sup Х. Таким образом, число М Î R называются верхней гранью множества Х, если:

а) " х Î Х х ≤ М *; б) "e>0 $ х ₁Î Х ê х ₁ > М * – e.

Если М *Î Х, то оно называется наибольшим элементом множества Х и обозначается

ô" х Î Х * = sup Х.

1. Пусть Х – некоторое числовое множество. Если $ m Î R ô" х Î Хх ≤ m то множество Х называется ограниченным снизу, а число m называется его нижней границей. Наибольшая из нижних границ m * множества Х называется его нижней гранью и обозначается m * = inf Х. Таким образом, число m Î R называется нижней гранью множества Х, если:

а) " х ≤ Х х ≥ m *; б) "e > 0 $ х ₂Î Х ï х ₂ < m * + e.

Если m *Î Х то оно называется наименьшим элементом множества Х и обозначается

m * = min Х.

1. Множество Х ограниченное сверху и ограниченное снизу называется ограниченным.
2. Понятие ограниченности, верхней и нижней границ и граней, а также наибольшего и наименьшего значения функции y = y (x) определяются как соответствующие элементы ее области значений Е (y).
3. Понятие предела функции.

при а Î D (y)¢ " х Î D (y) "e>0 $d(e)>0 ê х Î _{a ,δ} Þ y Î U_{b ,ε}.

Здесь D (y) – область определения функции y (x), D (y)¢ – множество ее предельных точек,

– проколотая d-окрестность точки, U_{b ,e} – e-окрестность точки b. В частности,

если в качестве окрестности точки х ₀Î R взять равносторонний интервал с центром в

х ₀, то: Û ê .

1. Формулы связанные с замечательными пределами (везде х®0)

I. Замечательные II. Замечательные III. Замечательные

пределы эквивалентности равенства

1. 1. 1.

2. 2. 2.

3. 3. 3.

4. 4. 4.

5. 5. 5.

6. 6. 6.

7. 7. 7.

8. 8. 8.

IV. Пять замечательных разложений в ряд.

1.

2.

3.

4.

5.

А. З.

1(389). Определить нижнюю и верхнюю грань функции , для х Î R.

2(401 * ). На языке «e- d» доказать, что . Указать правило нахождения «d» по заданно-

му «e».

3. Во всех нижеследующих записях предполагается, что a Î D (f)¢ и x Î D (f). Для каких функций f (x) справедливы утверждения:

а) "e > 0 $ d > 0 | 0 < | х – а |< d Þ | f (x) – b | < e;

б) $ e > 0 $ d > 0 | 0 < | х – а | < d Þ | f (x) – b | < e;

в) "e $ d > 0 | 0< | х – а | < d Þ | f (x) – b | < e;

г) "e > 0 "d > 0 | 0 < | х – а | < d Þ | f (x) – b | < e;

д) "e > 0 $ d | 0 < | х – а | < d Þ | f (x) – b | < e;

е) "e > 0 $ d > 0 | | х – а | < d Þ | f (x) – b | < e;

ж) "e > 0 $ d > 0 | | х – а | > d Þ | f (x) – b | < e;

з) "e > 0 $ d > 0 | 0 < | х – а | < d Þ | f (x) – b | > e;

и) "e>0 $d>0 | 0<|х–а|<d Þ f(x)–b>e

к) "e>0 $d>0 | 0<|х–а|<d Þ f(x)>e

4(407 * ). Пусть y = f (x). Сформулировать на языке ”e – d” следующие утверждения:

а) y ® b – 0 при х ® а; б) y ® b – 0 при х ® а + 0;

в) y ® b + 0 при х ® а – 0; г) y ® b + 0 при х ® + ¥;

д) y ® b при х ® – ¥; е) y ® b – 0 при х ® + ¥;

ж) y ® ¥ при х ® – ¥; з) y ® – ¥ при х ® + ¥.

Найти пределы:

5(418*) а) х ® 1, б) х ® 2, в) х ® 5, г) х ® 3.

6(419) . 7(420) . 8(425*) . 9(436) . 10(446) . 11(447) .

12(448) . 13(457) . 14(458) . 15(462) . 16(503) . 17(505) .

18(507) . 19(508) . 20(509) .

21(517) . 22(519) . 23(531) (а > 0).

24(532) . 25(533) .

26(561) а) х ® – ¥, б) х ® + ¥. 27(562) .

28(563) . 29(1324) . 30(1325) .

31(1349) . 32(1398) . 33(1399) . 34(1400) . 35(1401) .

36(1402) . 37(1406.1) .

Т.

1. f (x) = О (1) для х Î Х Û $ А Î R " х Î Х ç ç f (x)ç ≤ А.

Функция f (x) называется ограниченной на множестве Х. Если – проколотая окрестность точки а (возможно несобственной), то говорят что f (х) ограничена в предельном процессе х ® а.

1. f (x) = g (x) O (1) Û f (x) = O (g (x)).

Функция f (х) называется ограниченной по сравнению с функцией g (x).

1. Если в некотором предельном процессе существует, конечен и не равен нулю то заведомо выполнены соотношения f (x) = O (g (x)) и g (x) = O (f (x)). В этом случае пишут f (x) = O *(g (x)) и величины f (x) и g (x) называются величинами одного порядка.
2. Если f (x) = O (g (x)) то отсюда, в общем случае, не следует существование предела отношения двух функций.
3. Если в некотором предельном процессе то говорят, что f(x) есть бесконечно малая в данном предельном процессе. Это обозначается так: f (x) = o (1).
4. f (x) = g (x) o (1) Û f (x) = o (g (x))

Функция f (x) является бесконечно малой по сравнению с g (x).

1. Если в некотором предельном процессе f (x) = g (x) + o (g (x)) то величина g (x) называется главным членом величины f (x) в данном предельном процессе.

А.З.

38(646) Показать, что при х ® а

а) о (о (f (x))) = o (f (x)); б) O (o (f (x))) = o (f (x)); в) o (O (f (x))) = o (f (x));

г) O (O (f (x))) = O (f (x)); д) O(f(x))+o(f(x))=O(f(x))

39(561) Показать, что при х ® + ¥:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) (e > 0); е) .

40(653) При х ® 0 найти главный член простейшего вида для функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

41(655) При х ® 1 найти главный член простейшего вида для функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

42(658) При х®1 найти главный член простейшего вида для функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

43 Определить главные члены простейшего вида для величин:

а) ; б) ;

в) ; г) .

44 На языке “e - d” для х ® а и для х ® ¥ записать утверждения о том, что функция y (х) является:

а) ограниченной; б) неограниченной; в) имеет конечный предел;

г) бесконечно малой; д) бесконечно большой; е) отделённой от нуля.

Д.З.1.

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

45(350) . 46(391) .

Найти значения следующих функций:

47(412) . 48(416) .

49(423) . 50(421.1) . 51(437) . 52(440) . 53(641) .

54(469) Найти постоянные а и b из условия: .

55(474) . 56(475) . 57(476) . 58(484) . 59(495) . 60(499) . 61(514) . 62(523) . 63(525) . 64(528) .

Д.З.2.

Найти пределы:

65(535) . 66(540.1) .

67(544) . 68(545.3) . 69(567) .

70(571) . 71(579) .

72(650) Пусть х ® 0. Показать, что:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

73(652) Доказать, что при достаточно большом х > 0 имеют место неравенства:

а) ; б) ; в) .

74(656) Пусть х ® + ¥. Найти главный член и определить порядок роста величин:

а) ; б) ; в) ; г) .

75(657) Пусть х ® +¥. Найти главный член и определить порядок малости величин:

а) ; б) ; в) ; г) .

Найти пределы:

76(1320) . 77(1326) . 78(1331) . 79(1332) . 80(1333) . 81(1354) .

82(1363.3) . 83(1404) . 84(1405) .

Д.З.

85(381) Показать, что функция, определяемая условиями: f (x) = n, если , m, n Î Z, взаимно-простые и n > 0 и f (x) = 0, если х – иррационально, конечна, но не ограничена в каждой точке х (т.е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

86(384) Показать, что не ограничена в любой окрестности точки х = 0, однако не является бесконечно большой при х ® 0.

87(385) Исследовать на ограниченность функцию в интервале 0 < x < e.

88(387) Функция f (x) определена и монотонно возрастает на сегменте [a,b]. Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?

89(400) Пусть функция f (x) определена в области [ a, +¥) и ограниченна на каждом сегменте [ a, b ] Ì [ a, +¥). Положим: и . Построить графики функций y = m (x) и y = M (x), если: а) f (x) = sin x; б) f (x) = cos x.

90(450) Вычислить: .

91(470) Найти а_i и b_i (i = 1, 2) из условий:

, .

92(481) Доказать равенства:

а) ; б) ; в) .

93(564) Доказать, что (a > 1, n > 0).

94(565) Доказать, что (а > 1, e > 0).

Найти:

95(603) (здесь [ z ] – целая часть числа z, т. е. наибольшее целое число, не превышающее z).

96(604) . 97(605) .

98(606) n раз. 99(612) Доказать, что .

Построить графики функций:

100(613) а) , б) х Î [–1, 1].

101(614) а) , б) .

102(620) а) , б) .

103(624) . 104(625.1) .

105(625.2) . 106(630) Вычислить:

О.

1. 0; 1. 2. Например . 3. а) f (x) ® b при х ® а, б) f (x) ограничена при х ® а, в) нет таких f (x),

г) f (x) = const = b, д) f (x) любая, е) f (x) непрерывна при х = а и f (x) = b, ж) f (x) ® b при х ® ¥,

з) f (x) ® ¥ при х ® а, и) f (x) ® +¥ при х ® а, к) f (5 x) ® +¥ при х ® а. 4. а) "e > 0 $d > 0 | 0< | х – а | < d Þ b – e < y £ b, б) "e > 0 $ d(e) > 0 | a < x < a + d Þ b – e < y £ b, в) "e > 0 $d(e) > 0 | a – d < x < a Þ

b £ y < b + e, г) "e > 0 $d(e) | | x | > d Þ b £ y < b + e, д) "e > 0 $d(e) | x < d Þ | y – b | < e,

е) "e > 0 $d(e) | x > d Þ b – e < y £ b, ж) "e $ d(e) | x < d Þ | y | > e, з) "e $ d(e) | x > d Þ y < e.

5. а) , б) 0, в) ¥, г) . 6. . 7. 1. 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. .

15. 2. 16. 0. 17. 0. 18. 0. 19. 0. 20. 0. 21. е. 22. 1. 23. . 24. 0. 25. . 26. а) 0, б) . 27. ln8. 28. – ln2.

29. . 30. . 31. 1. 32. . 33. . 34. . 35. . 36. . 37. . 40. а) 2 х, б) х, в) , г) .

41. а) , б) , в) х – 1, г) е (х – 1), д) х – 1. 42. а) , б) , в) ,

г) , д) . 43. а) ; б) , в) ; , г) .

44. а) $e > 0 $d(e) > 0 | 0 < | х – а | < d Þ ½ y ½< e;) $e > 0 $d(e) | | х | > d Þ ½ y ½< e,

б) "e > 0 "d > 0 $ х | 0 <½ х – а ½< d Þ | y | > e; "e > 0 "d $ х | ½ х ½> d Þ | y | > e;

в) $ b "e > 0 $d(e) > 0 | 0< | х – а ½< d Þ ½ f (x) – b ½< e; $b "e > 0 $d(e) | | х | > d Þ ½ f (x) – b ½< e,

г) "e > 0 $d(e) > 0 | 0 < | х – а ½< d Þ ½ f (x)½< e; "e > 0 $d(e) | | х | > d Þ ½ f (x)½< e,

д) "e $d(e) > 0 | 0 < | х – а ½< d Þ ½ f (x)½> e; "e > 0 $d(e) | | х | > d Þ ½ f (x)½> e,

е) $e > 0 $d(e) > 0 | 0 < | х – а | < d Þ ½ f (x)½> e; $e > 0 $d(e) | | х | > d Þ ½ f (x)½> e. 45. 0; 1. 46. 2; +¥.

47. 6. 48. . 49. . 50. . 51. . 52. . 53. . 54. а = 1, b = –1. 55. . 56. . 57. 2.

58. . 59. . 60. . 61. . 62. 1. 63. e. 64. . 65. . 66. n. 67. . 68. –2. 69. 1. 70. . 71. 1. 74. а) , б) , в) , г) . 75. а) , б) , в) , г) . 76. 2.

77. . 78. 1. 79. . 80. . 81. . 82. . 83. . 84. 0. 87. Ограничена сверху и неограниченна снизу. 88. и . 90. . 91. (i = 1,2). 95. 1. 96. 0. 97. 1. 98. 0. 100. б) y = 1, если ½ х ½< 1;

y = 0, если ½ х ½ = 1. 101. б) y = 0, если 0 £ х < 1; , если х = 1; y = 1, если 1< х < +¥. 102. б) y = 0, если ; y = 1, если , к Î Z. 103. y = x, если х < 0; , если х = 0; y = 1, если х > 1. 104. , если и ; y = х, если и ; , если х = 2 к – 1; к Î N. 105. y = 0, если х – рационально; y = 1, если х – иррационально.

106. .

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ

Аудиторные занятия. Демидович: 688, 689, 690, 692, 694, 700, 1*, 2*, 3*, 4*,

5*, 6*, 846, 850, 854, 871, 881, 895, 1*, 2*, 3*, 4*, 5*, 6*, 7*, 8*, 9*,10*,