Кванторы

Квантор – логическая операция, преобразующая утверждение о наличии некоторого свойства у объектов данного класса в утверждение о множестве объектов, обладающих этим свойством.

Очень важными являются следующие кванторы:

" – квантор всеобщности;

$ – квантор существования;

$! – квантор существования и единственности;

" хА (х) – для всех х выполняется свойство А (х);

$ хА (х) – существует х, для которого выполняется свойство А (х);

$! хА (х) – существует и притом только один х, для которого выполнено свойство А (х).

Алгебраические свойства кванторов:

1°. " х А (х) Û Ø$ х Ø А (х),

$ х А (х) Û Ø" х Ø А (х);

2°. Коммутирование кванторов с отрицанием:

Ø" х А (х) Û $ х Ø А (х),

Ø$ х А (х) Û " х Ø А (х);

3°. Коммутирование одноименных кванторов по разным переменным

" х " у А (х, у) Û " у " х А (х, у),

$ х $ у А (х, у) Û $ у $ х А (х, у);

Разноименные кванторы, вообще говоря, не перестановочны

$ х " у А (х, у) Þ " у $ х А (х, у);

Обратной импликации, вообще говоря, нет.

4°. Дистрибутивность " относительно Ù и $ относительно Ú:

" х (А (х) Ù В (х)) Û " х А (х) Ù " х В (х),

$ х (А (х) Ú В (х)) Û $ х А (х) Ú $ х В (х);

5°. " х А (х) Ú " х В (х) Þ " х (А (х) Ú В (х)),

$ х (А (х) Ù В (х)) Þ $ х А (х) Ù $ х В (х),

$ х (А (х) Þ В (х)) Û " х А (х) Þ $ х В (х),

" х (А (х) Þ В (х)) Þ $ х А (х) Þ " х В (х);

6°. Свойства кванторов относительно отождествления:

" х " у А (х, у) Þ " х А (х, х),

$ х А (х, у) Þ $ х $ у А (х, у);

7°. Дистрибутивность кванторов относительно Ù, Ú, Þ когда одно из высказываний не зависит от кванторной переменной:

" х (А (х) Ù В) Û " х А (х) Ù В,

$ х (А (х) Ù В) Û $ х А (х) Ù В,

" х (А (х) Þ В) Û " х А (х) Þ В,

" х (А Ù В (х)) Û А Þ " х В (х);

8°. Квантор существования и единственности $!

$! хА (х) Û $ х А (х) Ù " у (А (у) Þ у = х);

9°. Релятивизованные кванторы:

" _R x A (x) Û " x (R (x) Þ A (x)) «для всех х таких что R (x)»

$ _R x A (x) Û $ x (R (x) Ù A (x)). «существует х такое что R (x) и А (х)»